Основы мат. анализа Примеры

$\cot (x) > 0$ , $\cos (x) > 0$

Этап 1

Упростим первое неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x > arccot (0)$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x > \frac{π}{2}$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.8

Найдем область определения $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Зададим аргумент в $\cot (x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.8.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 1.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\cot (1) > 0$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.1.3

Левая часть $0.64209261$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\cot (2) > 0$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.2.3

Левая часть $- 0.45765755$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.3

Проверим значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Выберем значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\cot (4) > 0$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.3.3

Левая часть $0.86369115$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина и $\cos (x) > 0$

Этап 1.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{3 π}{2}$ True and $\cos (x) > 0$

$0 < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{3 π}{2}$ True and $\cos (x) > 0$

Этап 1.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $\cos (x) > 0$

Этап 1.12

Объединим интервалы.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $\cos (x) > 0$

Этап 2

Упростим второе неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x > \arccos (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x > \frac{π}{2}$

Этап 2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = \frac{π}{2} + π n$

Этап 2.8

Найдем область определения $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Зададим аргумент в $\cot (x)$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$

Этап 2.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = 1$

Этап 2.10.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $\cot (1) > 0$

Этап 2.10.1.3

Левая часть $0.64209261$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Этап 2.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = 2$

Этап 2.10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $\cot (2) > 0$

Этап 2.10.2.3

Левая часть $- 0.45765755$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and False

Этап 2.10.3

Проверим значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Выберем значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = 4$

Этап 2.10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $\cot (4) > 0$

Этап 2.10.3.3

Левая часть $0.86369115$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Этап 2.10.4

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = 5$

Этап 2.10.4.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $\cot (5) > 0$

Этап 2.10.4.3

Левая часть $- 0.29581291$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and False

Этап 2.10.5

Проверим значение на интервале $2 π < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Выберем значение на интервале $2 π < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $x = 7$

Этап 2.10.5.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ или $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ и $\cot (7) > 0$

Этап 2.10.5.3

Левая часть $1.14751542$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Этап 2.10.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 < x < \frac{π}{2}$ True

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$ Истина

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 < x < \frac{π}{2}$ True

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$ Истина

Этап 2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 + 2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$

Этап 2.12

Объединим интервалы.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$

Этап 3