Основы мат. анализа Примеры

$x = t^{2} + t + 1$ , $y = 2 t$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = t^{2} + t + 1$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $t^{2} + t + 1 = x$ .

$t^{2} + t + 1 = x$

Этап 3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$t^{2} + t + 1 - x = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6

Вычтем $4$ из $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6

Вычтем $4$ из $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

Этап 7.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$t = \frac{- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

Этап 7.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{- 3 + 4 x}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{- 3 + 4 x})}{2}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{- 3 + 4 x})$ .

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{- 3 + 4 x})}{2}$

Этап 7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

Этап 8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.6

Вычтем $4$ из $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

Этап 8.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

Этап 8.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - \sqrt{- 3 + 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Изменим порядок $- 3$ и $4 x$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x - 3}}{2}$

Этап 8.4.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x - 3}}{2}$

Этап 8.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{4 x - 3}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x - 3})}{2}$

Этап 8.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\sqrt{4 x - 3})$ .

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x - 3})}{2}$

Этап 8.4.5

Перепишем $- 1 (1 + \sqrt{4 x - 3})$ в виде $- (1 + \sqrt{4 x - 3})$ .

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x - 3})}{2}$

Этап 8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}$

Этап 9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = - \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}$

Этап 10

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2})$

Этап 11

Упростим $2 (- \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $2$ на каждый элемент матрицы.

$y = (2 (- \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

Этап 11.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$ в числитель.

$y = (2 (\frac{- (1 - \sqrt{- 3 + 4 x})}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель.

$y = (2 \frac{- (1 - \sqrt{- 3 + 4 x})}{2}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

Этап 11.2.1.3

Перепишем это выражение.

$y = (- (1 - \sqrt{- 3 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (- 1 \cdot 1 - - \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = (- 1 - - \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

Этап 11.2.4

Умножим $- - \sqrt{- 3 + 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = (- 1 + 1 \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

Этап 11.2.4.2

Умножим $\sqrt{- 3 + 4 x}$ на $1$ .

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

Этап 11.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}$ в числитель.

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (\frac{- (1 + \sqrt{4 x - 3})}{2}))$

Этап 11.2.5.2

Сократим общий множитель.

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 \frac{- (1 + \sqrt{4 x - 3})}{2})$

Этап 11.2.5.3

Перепишем это выражение.

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x - 3}))$

Этап 11.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, - 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x - 3})$

Этап 11.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x - 3})$