Основы мат. анализа Примеры

$x = t + \frac{1}{t}$ , $y = t - \frac{1}{t}$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = t + \frac{1}{t}$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $t + \frac{1}{t} = x$ .

$t + \frac{1}{t} = x$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, t, 1$

Этап 3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$t$

Этап 4

Каждый член в $t + \frac{1}{t} = x$ умножим на $t$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $t + \frac{1}{t} = x$ на $t$ .

$t \cdot t + \frac{1}{t} t = x t$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

Этап 4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$t^{2} + 1 = x t$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x t$ из обеих частей уравнения.

$t^{2} + 1 - x t = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - x$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot 1$ в виде ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = - x$ и $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Умножим $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.1.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.1.3.2

Умножим $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.1.3.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot 1$ в виде ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.2

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.3.1

Умножим $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.3.2

Умножим $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.3.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Этап 5.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot 1$ в виде ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.3.1

Умножим $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3.2

Умножим $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Этап 5.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Этап 6

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = (\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}) - \frac{1}{(\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2})}$