Основы мат. анализа Примеры

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ .

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

Этап 3

Разделим каждый член $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ на $4$ .

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.1.1.2

Разделим $\sqrt{4 - t^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = t$ .

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ в виде ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Развернем $(2 + t) (2 - t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $t$ .

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.3.1.5

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.5.1

Перенесем $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.3.1.5.2

Умножим $t$ на $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Добавим $- 2 t$ и $2 t$ .

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{4}$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

Этап 6

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ .

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ в виде $- \frac{x^{2}}{16}$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

Этап 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

Этап 6.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

Этап 6.4.1.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{16}$ в виде ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

Этап 6.4.1.3

Изменим порядок $- {(\frac{x}{4})}^{2}$ и $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

Этап 6.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = \frac{x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Этап 6.4.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Этап 6.4.4

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Этап 6.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Этап 6.4.6

Умножим $2$ на $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Этап 6.4.7

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

Этап 6.4.8

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

Этап 6.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

Этап 6.4.10

Умножим $2$ на $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

Этап 6.4.11

Умножим $\frac{8 + x}{4}$ на $\frac{8 - x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

Этап 6.4.12

Умножим $4$ на $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

Этап 6.4.13

Перепишем $\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ в виде ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.13.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(8 + x) (8 - x)$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

Этап 6.4.13.2

Вынесем полную степень $4^{2}$ из $16$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.4.13.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

Этап 6.4.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Этап 6.4.15

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Этап 6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Этап 6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Этап 6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Этап 7

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Этап 8

Упростим $3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Этап 8.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Этап 8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Умножим $- 1$ на каждый элемент матрицы.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Этап 8.1.3.2

Умножим $- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

Этап 8.1.3.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ на $1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Этап 8.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Этап 8.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Этап 8.2.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Этап 8.2.2.3

Изменим порядок $8$ и $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Этап 8.2.2.4

Изменим порядок $8$ и $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Этап 8.2.2.5

Изменим порядок $8$ и $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Этап 8.2.2.6

Изменим порядок $8$ и $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Этап 8.2.2.7

Изменим порядок $8$ и $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Этап 8.2.2.8

Изменим порядок $8$ и $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Этап 8.2.2.9

Изменим порядок $8$ и $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

Этап 8.2.2.10

Изменим порядок $8$ и $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$