Основы мат. анализа Примеры

$x (t) = 2 - t$ , $y (t) = 2 t^{2} - t^{3}$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = 2 - t$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $2 - t = x$ .

$2 - t = x$

Этап 3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- t = x - 2$

Этап 4

Разделим каждый член $- t = x - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- t = x - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$t = - x + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.3.1.3

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$t = - x + 2$

Этап 5

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = 2 {(- x + 2)}^{2} - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6

Упростим $2 {(- x + 2)}^{2} - {(- x + 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем ${(- x + 2)}^{2}$ в виде $(- x + 2) (- x + 2)$ .

$y = 2 ((- x + 2) (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.2

Развернем $(- x + 2) (- x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 (- x (- x + 2) + 2 (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 (- x (- x) - x \cdot 2 + 2 (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 (- x (- x) - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 2 (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = 2 (x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = 2 (x^{2} - 2 x + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$y = 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$y = 2 (x^{2} - 4 x + 4) - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - {(- x + 2)}^{3}$

Этап 6.1.6

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - ({(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Этап 6.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - ({(- 1)}^{3} x^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Этап 6.1.7.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Этап 6.1.7.3

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Этап 6.1.7.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 (1 x^{2}) \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Этап 6.1.7.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Этап 6.1.7.6

Умножим $2$ на $3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Этап 6.1.7.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Этап 6.1.7.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 3 x \cdot 4 + 2^{3})$

Этап 6.1.7.9

Умножим $4$ на $- 3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 2^{3})$

Этап 6.1.7.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 8)$

Этап 6.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - - x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

Этап 6.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.9.1

Умножим $- - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.9.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + 1 x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

Этап 6.1.9.1.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

Этап 6.1.9.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

Этап 6.1.9.3

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 1 \cdot 8$

Этап 6.1.9.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Этап 6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 0$

Этап 6.2.1.2

Добавим $2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ и $0$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$

Этап 6.2.2

Вычтем $6 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$y = - 4 x^{2} - 8 x + x^{3} + 12 x$

Этап 6.2.3

Добавим $- 8 x$ и $12 x$ .

$y = - 4 x^{2} + x^{3} + 4 x$

Этап 6.2.4

Изменим порядок $- 4 x^{2}$ и $x^{3}$ .

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$