Основы мат. анализа Примеры

$x (t) = \tan (t)$ , $y (t) = \sec^{2} (t)$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = \tan (t)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $\tan (t) = x$ .

$\tan (t) = x$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из тангенса.

$t = \arctan (x)$

Этап 4

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = \sec^{2} (\arctan (x))$

Этап 5

Избавимся от скобок.

$y = \sec^{2} (\arctan (x))$

Этап 6

Упростим $\sec^{2} (\arctan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, x)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, x)$ . Следовательно, $\sec (\arctan (x))$ равно $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$y = {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$

Этап 6.2

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}$

Этап 6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$y = {(1 + x^{2})}^{1}$

Этап 6.2.5

Упростим.

$y = 1 + x^{2}$

Этап 6.3

Изменим порядок $1$ и $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 1$