Основы мат. анализа Примеры

$x (t) = \sin (t) - 1$ , $y (t) = \csc (t)$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = \sin (t) - 1$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $\sin (t) - 1 = x$ .

$\sin (t) - 1 = x$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (t) = x + 1$

Этап 4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (x + 1)$

Этап 5

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = \csc (\arcsin (x + 1))$

Этап 6

Избавимся от скобок.

$y = \csc (\arcsin (x + 1))$

Этап 7

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(x + 1)}^{2}}, x + 1)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x + 1)}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (x + 1)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(x + 1)}^{2}}, x + 1)$ . Следовательно, $\csc (\arcsin (x + 1))$ равно $\frac{1}{x + 1}$ .

$y = \frac{1}{x + 1}$