Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 25$ , ${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = 25 - x^{2}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 3

Упростим $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

${(x - 8)}^{2} + y^{2} = 41$

Step 5

Вычтем ${(x - 8)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = 41 - {(x - 8)}^{2}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{41 - {(x - 8)}^{2}}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 7

Упростим $\pm \sqrt{41 - {(x - 8)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем ${(x - 8)}^{2}$ в виде $(x - 8) (x - 8)$ .

$y = \pm \sqrt{41 - ((x - 8) (x - 8))}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Развернем $(x - 8) (x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{41 - (x (x - 8) - 8 (x - 8))}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{41 - (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8))}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{41 - (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{41 - (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 8 x - 8 x + 64)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 8 x - 8 x + 64)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 16 x + 64)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{41 - (x^{2} - 16 x + 64)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{41 - x^{2} - (- 16 x) - 1 \cdot 64}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{41 - x^{2} + 16 x - 1 \cdot 64}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Умножим $- 1$ на $64$ .

$y = \pm \sqrt{41 - x^{2} + 16 x - 64}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{41 - x^{2} + 16 x - 64}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Вычтем $64$ из $41$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 16 x - 23}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 9

Построим график для нахождения точки пересечения уравнений. Точка пересечения является решением системы уравнений.

$(3, 4)$

$(3, - 4)$

Step 10