Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Этап 2.2

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

Этап 2.3

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

Этап 2.3.2

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

Этап 2.3.3

Чтобы записать $- \frac{1}{21}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $84$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3.4.2

Умножим $4$ на $21$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $\frac{1}{21}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

Этап 2.3.4.4

Умножим $21$ на $4$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 21 - 4}{84}$

Этап 2.3.6

Вычтем $4$ из $- 21$ .

$\frac{- 25}{84}$

Этап 2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Этап 4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Умножим $\frac{221}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Этап 4.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $21$ из $- 84$ .

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

Этап 4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

Этап 4.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{221}{4} - - 4$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- \frac{221}{4} + 4$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.2.2.3

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{- 221 + 16}{4}$

Этап 4.2.2.5.2

Добавим $- 221$ и $16$ .

$\frac{- 205}{4}$

Этап 4.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

Этап 4.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

Этап 4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $5$ из $205$ .

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Этап 4.7.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Этап 4.7.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Этап 4.7.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

Этап 4.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

Этап 4.8.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

Этап 4.8.3

Перепишем это выражение.

$x = 41 (\frac{21}{5})$

Этап 4.9

Объединим $41$ и $\frac{21}{5}$ .

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

Этап 4.10

Умножим $41$ на $21$ .

$x = \frac{861}{5}$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 84$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

Этап 5.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 42 - \frac{221}{2}$

Этап 5.2.2.2

Чтобы записать $- 42$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

Этап 5.2.2.3

Объединим $- 42$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

Этап 5.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

Этап 5.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Умножим $- 42$ на $2$ .

$\frac{- 84 - 221}{2}$

Этап 5.2.2.5.2

Вычтем $221$ из $- 84$ .

$\frac{- 305}{2}$

Этап 5.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

Этап 5.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

Этап 5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $5$ из $305$ .

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Этап 5.7.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Этап 5.7.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Этап 5.7.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

Этап 5.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $2$ из $84$ .

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

Этап 5.8.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

Этап 5.8.3

Перепишем это выражение.

$y = 61 (\frac{42}{5})$

Этап 5.9

Объединим $61$ и $\frac{42}{5}$ .

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

Этап 5.10

Умножим $61$ на $42$ .

$y = \frac{2562}{5}$

Этап 6

Приведем решение системы уравнений.

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$