Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x - \frac{1}{6} y = - \frac{3}{2}$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 2.2

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.3

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{1}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.3.1.1.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{12}$

Этап 2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - 1}{12}$

Этап 2.3.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 2}{12}$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Этап 2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Этап 2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{6}$

Этап 2.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6}$

$D = - \frac{1}{6}$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- \frac{1}{6}) - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $- \frac{1}{6}$ на $1$ .

$- \frac{1}{6} - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$- \frac{1}{6} - (\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 4.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 4.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{6} - \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6} - - \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{6} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 3}{6}$

Этап 4.2.2.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2}{6}$

Этап 4.2.2.6

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Этап 4.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

$D_{x} = \frac{1}{3}$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $\frac{1}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{1}{6}}$

Этап 4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Этап 4.7.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Этап 4.7.3

Перепишем это выражение.

$x = - 2$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{4} & - \frac{3}{2} \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}) - \frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 - 1}{4}$

Этап 5.2.2.3

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$\frac{- 4}{4}$

Этап 5.2.2.4

Разделим $- 4$ на $4$ .

$- 1$

$D_{y} = - 1$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 1}{- \frac{1}{6}}$

Этап 5.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Этап 5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = 1 \cdot 6$

Этап 5.7

Умножим $6$ на $1$ .

$y = 6$

Этап 6

Приведем решение системы уравнений.

$x = - 2$

$y = 6$