Основы мат. анализа Примеры

$2 x - 5 y = - 2$ , $- \frac{1}{4} x + 2 y = 7$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array} |$

Этап 2.2

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 2 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

Этап 2.3

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$4 - (5 (\frac{1}{4}))$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{4}$ .

$4 - \frac{5}{4}$

Этап 2.3.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

Этап 2.3.3

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{5}{4}$

Этап 2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 4 - 5}{4}$

Этап 2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 - 5}{4}$

Этап 2.3.5.2

Вычтем $5$ из $16$ .

$\frac{11}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ 7 & 2 \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 2 - 7 \cdot - 5$

Этап 4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 - 7 \cdot - 5$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 7$ на $- 5$ .

$- 4 + 35$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 4$ и $35$ .

$31$

$D_{x} = 31$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $31$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{31}{\frac{11}{4}}$

Этап 4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = 31 (\frac{4}{11})$

Этап 4.6

Умножим $31 (\frac{4}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Объединим $31$ и $\frac{4}{11}$ .

$x = \frac{31 \cdot 4}{11}$

Этап 4.6.2

Умножим $31$ на $4$ .

$x = \frac{124}{11}$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - \frac{1}{4} & 7 \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 7 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $2$ на $7$ .

$14 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$14 - (\frac{- 1}{4} \cdot - 2)$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$14 - (\frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2)$

Этап 5.2.2.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

Этап 5.2.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

Этап 5.2.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$14 - (\frac{- 1}{2} \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.1.3

Объединим $\frac{- 1}{2}$ и $- 1$ .

$14 - \frac{- - 1}{2}$

Этап 5.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$14 - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Чтобы записать $14$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$14 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.3

Объединим $14$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 5.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Умножим $14$ на $2$ .

$\frac{28 - 1}{2}$

Этап 5.2.2.5.2

Вычтем $1$ из $28$ .

$\frac{27}{2}$

$D_{y} = \frac{27}{2}$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $\frac{27}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{\frac{27}{2}}{\frac{11}{4}}$

Этап 5.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{4}{11}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 (2)}{11}$

Этап 5.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{11}$

Этап 5.6.3

Перепишем это выражение.

$y = 27 (\frac{2}{11})$

Этап 5.7

Объединим $27$ и $\frac{2}{11}$ .

$y = \frac{27 \cdot 2}{11}$

Этап 5.8

Умножим $27$ на $2$ .

$y = \frac{54}{11}$

Этап 6

Приведем решение системы уравнений.

$x = \frac{124}{11}$

$y = \frac{54}{11}$