Основы мат. анализа Примеры

$x + y + z = 8$ , $x - y + z = - 2$ , $2 x + 0 + 2 = 9$

Step 1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x + 2 = 9$

Step 2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 9 - 2$

Step 3

Вычтем $2$ из $9$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 7$

Step 4

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 7 \end{array}]$

Step 5

Найдем определитель матрицы $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем определитель, разложив его на компоненты меньшего размера.

$D = - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $0$ на $1$ .

$D = - 1 (0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Умножим $- 2$ на $1$ .

$D = - 1 (0 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Вычтем $2$ из $0$ .

$D = - 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$D = 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = 2 - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $0$ на $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Умножим $- 2$ на $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Вычтем $2$ из $0$ .

$D = 2 - 1 \cdot - 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$D = 2 + 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $1$ на $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1 \cdot 1)$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1)$

Вычтем $1$ из $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 \cdot 0$

Умножим $0$ на $0$ .

$D = 2 + 2 + 0$

Добавим $2$ и $2$ .

$D = 4 + 0$

Добавим $4$ и $0$ .

$D = 4$

Step 6

Найдем определитель матрицы $[\begin{array}{c} 8 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем определитель, разложив его на компоненты меньшего размера.

$D_{x} = - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = - 1 (- 2 \cdot 0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $0$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Умножим $- 7$ на $1$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Вычтем $7$ из $0$ .

$D_{x} = - 1 \cdot - 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$D_{x} = 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = 7 - 1 (8 \cdot 0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $8$ на $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Умножим $- 7$ на $1$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Вычтем $7$ из $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 \cdot - 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1))$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $8$ на $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 - (- 2 \cdot 1))$

Умножим $- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Добавим $8$ и $2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 \cdot 10$

Умножим $0$ на $10$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0$

Добавим $7$ и $7$ .

$D_{x} = 14 + 0$

Добавим $14$ и $0$ .

$D_{x} = 14$

Step 7

Найдем определитель матрицы $[\begin{array}{c} 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 7 & 0 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем определитель, разложив его на компоненты меньшего размера.

$D_{y} = 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} |$ на $1$ .

$D_{y} = | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $7$ на $1$ .

$D_{y} = 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$D_{y} = 7 + 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Добавим $7$ и $4$ .

$D_{y} = 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $7$ на $1$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Умножим $- 2$ на $8$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Вычтем $16$ из $7$ .

$D_{y} = 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $1$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Умножим $- 1$ на $8$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Вычтем $8$ из $- 2$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Умножим $0$ на $- 10$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0$

Добавим $11$ и $9$ .

$D_{y} = 20 + 0$

Добавим $20$ и $0$ .

$D_{y} = 20$

Step 8

Найдем определитель матрицы $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 8 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем определитель, разложив его на компоненты меньшего размера.

$D_{z} = - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $7$ на $1$ .

$D_{z} = - 1 (7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$D_{z} = - 1 (7 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Добавим $7$ и $4$ .

$D_{z} = - 1 \cdot 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Умножим $- 1$ на $11$ .

$D_{z} = - 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $7$ на $1$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Умножим $- 2$ на $8$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Вычтем $16$ из $7$ .

$D_{z} = - 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $1$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Умножим $- 1$ на $8$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Вычтем $8$ из $- 2$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Умножим $0$ на $- 10$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0$

Добавим $- 11$ и $9$ .

$D_{z} = - 2 + 0$

Добавим $- 2$ и $0$ .

$D_{z} = - 2$

Step 9

Найдем значение $x$ методом Крамера, согласно которому $x = \frac{D_{x}}{D}$ . В этом случае $x = \frac{14}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$x = \frac{14}{4}$

Сократим общий множитель $14$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$x = \frac{2 (7)}{4}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Перепишем это выражение.

$x = \frac{7}{2}$

Step 10

Найдем значение $y$ методом Крамера, согласно которому $y = \frac{D_{y}}{D}$ . В этом случае $y = \frac{20}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$y = \frac{20}{4}$

Разделим $20$ на $4$ .

$y = 5$

Step 11

Найдем значение $z$ методом Крамера, согласно которому $z = \frac{D_{z}}{D}$ . В этом случае $z = \frac{- 2}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$z = \frac{- 2}{4}$

Упростим $\frac{- 2}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$z = \frac{2 (- 1)}{4}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Сократим общий множитель.

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Перепишем это выражение.

$z = \frac{- 1}{2}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z = - \frac{1}{2}$

Step 12

Решение системы уравнений с использованием метода Крамера для матриц.

$x = \frac{7}{2}, y = 5, z = - \frac{1}{2}$