Основы мат. анализа Примеры

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{2}{4} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (3)}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{1 + 3}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.2

Добавим $1$ и $3$ .

$r = \sqrt{\frac{4}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.3

Разделим $4$ на $2$ .

$r = \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{- \frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $- \sqrt{3}$ равна $θ = 120 °$ .

$r = \sqrt{2}$

$θ = 120 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(\sqrt{2}, 120 °)$