Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{- 5}{2}, \frac{π}{6})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = \sqrt{{(- \frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Применим правило умножения к $\frac{π}{6}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Возведем $6$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Чтобы записать $\frac{25}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $\frac{25}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.2

Умножим $4$ на $9$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.12

Умножим $25$ на $9$ .

$r = \sqrt{\frac{225 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.13

Перепишем $\sqrt{\frac{225 + π^{2}}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$ .

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{π}{6}}{\frac{- 5}{2}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $- \frac{π}{15}$ равна $θ = 168.17098164 °$ .

$r = \frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}$

$θ = 168.17098164 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{225 + π^{2}}}{6}, 168.17098164 °)$