Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{3}{8}, - \frac{\sqrt{55}}{8})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(\frac{3}{8})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{55}}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{8}$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{2}}{8^{2}} + {(- \frac{\sqrt{55}}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{8^{2}} + {(- \frac{\sqrt{55}}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + {(- \frac{\sqrt{55}}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{55}}{8}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{55}}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{55}}{8}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{55}}^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{55}}^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + 1 (\frac{{\sqrt{55}}^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2

Умножим $\frac{{\sqrt{55}}^{2}}{8^{2}}$ на $1$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{{\sqrt{55}}^{2}}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{{\sqrt{55}}^{2}}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Перепишем ${\sqrt{55}}^{2}$ в виде $55$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{55}$ в виде $55^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{{(55^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{55^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{55^{\frac{2}{2}}}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{55^{\frac{2}{2}}}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{55}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{55}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{55}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{55}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{55}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{9 + 55}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.3

Добавим $9$ и $55$ .

$r = \sqrt{\frac{64}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.4

Разделим $64$ на $64$ .

$r = \sqrt{1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{\sqrt{55}}{8}}{\frac{3}{8}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $- \frac{\sqrt{55}}{3}$ равна $θ = 292.02431283 °$ .

$r = 1$

$θ = 292.02431283 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(1, 292.02431283 °)$