Основы мат. анализа Примеры

${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = x$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} - x = 0$

Этап 2

Составим полный квадрат для ${(x - 1)}^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) - x$

Этап 2.1.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - x$

Этап 2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - x$

Этап 2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x$

Этап 2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x$

Этап 2.1.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x$

Этап 2.1.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x$

Этап 2.1.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - x$

Этап 2.1.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - x$

Этап 2.1.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - x$

Этап 2.1.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1$

Этап 2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 1$

Этап 2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{2}$

Этап 2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$e = 1 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 1 - \frac{9}{4}$

Этап 2.5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$e = \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 2.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{4 - 9}{4}$

Этап 2.5.2.4

Вычтем $9$ из $4$ .

$e = \frac{- 5}{4}$

Этап 2.5.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{5}{4}$

Этап 2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$

Этап 3

Подставим ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$ вместо ${(x - 1)}^{2} - x$ в уравнение ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} - x = 0$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4} + {(y - 3)}^{2} = 0$

Этап 4

Перенесем $- \frac{5}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{5}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 0 + \frac{5}{4}$

Этап 5

Добавим $0$ и $\frac{5}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = \frac{5}{4}$

Этап 6

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 7

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$h = \frac{3}{2}$

$k = 3$

Этап 8

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(\frac{3}{2}, 3)$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(\frac{3}{2}, 3)$

Радиус: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 10