Основы мат. анализа Примеры

$16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $16 x^{2} - 160 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 16$

$b = - 160$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 160}{2 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 160$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 160$ .

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 (16)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 80}{16}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $- 80$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $- 80$ .

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$d = - 5$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 160)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $- 160$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot 16}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$e = 0 - \frac{25600}{64}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $25600$ на $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 400$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $400$ .

$e = 0 - 400$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $400$ из $0$ .

$e = - 400$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $16 {(x - 5)}^{2} - 400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 400$

Этап 1.2

Подставим $16 {(x - 5)}^{2} - 400$ вместо $16 x^{2} - 160 x$ в уравнение $16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 400 - 25 y^{2} - 250 y \cdot 75 = 0$

Этап 1.3

Перенесем $- 400$ в правую часть уравнения, прибавив $400$ к обеим частям.

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 y^{2} - 250 y \cdot 75 = 0 + 400$

Этап 1.4

Составим полный квадрат для $- 25 y^{2} - 250 y \cdot 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $75$ на $- 250$ .

$- 25 y^{2} - 18750 y$

Этап 1.4.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 25$

$b = - 18750$

$c = 0$

Этап 1.4.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.4.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18750}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 18750$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18750$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.4.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 (- 25)}$

Этап 1.4.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 \cdot - 25}$

Этап 1.4.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 9375}{- 25}$

Этап 1.4.4.2.2

Сократим общий множитель $- 9375$ и $- 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.2.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 9375$ .

$d = \frac{- 25 (375)}{- 25}$

Этап 1.4.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 375}{- 25 \cdot 1}$

Этап 1.4.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 25 \cdot 375}{- 25 \cdot 1}$

Этап 1.4.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{375}{1}$

Этап 1.4.4.2.2.2.4

Разделим $375$ на $1$ .

$d = 375$

Этап 1.4.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18750)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1.1

Возведем $- 18750$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{351562500}{4 \cdot - 25}$

Этап 1.4.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 25$ .

$e = 0 - \frac{351562500}{- 100}$

Этап 1.4.5.2.1.3

Разделим $351562500$ на $- 100$ .

$e = 0 - - 3515625$

Этап 1.4.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3515625$ .

$e = 0 + 3515625$

Этап 1.4.5.2.2

Добавим $0$ и $3515625$ .

$e = 3515625$

Этап 1.4.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$ .

$- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$

Этап 1.5

Подставим $- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$ вместо $- 25 y^{2} - 250 y \cdot 75$ в уравнение $16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625 = 0 + 400$

Этап 1.6

Перенесем $3515625$ в правую часть уравнения, прибавив $3515625$ к обеим частям.

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = 0 + 400 - 3515625$

Этап 1.7

Упростим $0 + 400 - 3515625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $0$ и $400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = 400 - 3515625$

Этап 1.7.2

Вычтем $3515625$ из $400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = - 3515225$

Этап 1.8

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

$- 16 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y + 375)}^{2} = 3515225$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $3515225$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{16 {(x - 5)}^{2}}{3515225} + \frac{25 {(y + 375)}^{2}}{3515225} = \frac{3515225}{3515225}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 375)}^{2}}{140609} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{\frac{3515225}{16}} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \sqrt{140609}$

$b = \frac{5 \sqrt{140609}}{4}$

$k = - 375$

$h = 5$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(5, - 375)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{140609})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем ${\sqrt{140609}}^{2}$ в виде $140609$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{140609}$ в виде $140609^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(140609^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{140609^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{140609^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{140609^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{140609^{1} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{140609 + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{140609}}{4}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{{(5 \sqrt{140609})}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{140609}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{5^{2} {\sqrt{140609}}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 {\sqrt{140609}}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем ${\sqrt{140609}}^{2}$ в виде $140609$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{140609}$ в виде $140609^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 {(140609^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{1}}{4^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609}{4^{2}}}$

Этап 5.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609}{16}}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $25$ на $140609$ .

$\sqrt{140609 + \frac{3515225}{16}}$

Этап 5.3.5

Чтобы записать $140609$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{140609 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3515225}{16}}$

Этап 5.3.6

Объединим $140609$ и $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{140609 \cdot 16}{16} + \frac{3515225}{16}}$

Этап 5.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{140609 \cdot 16 + 3515225}{16}}$

Этап 5.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $140609$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{2249744 + 3515225}{16}}$

Этап 5.3.8.2

Добавим $2249744$ и $3515225$ .

$\sqrt{\frac{5764969}{16}}$

Этап 5.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{5764969}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.3.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 5.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{5764969}}{4}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, - 375 + \sqrt{140609})$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, - 375 - \sqrt{140609})$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(5, - 375 + \sqrt{140609}), (5, - 375 - \sqrt{140609})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Этап 8

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 8.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}}}{\sqrt{5764969}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}}}{\sqrt{5764969}} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 8.3.2

Объединим.

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}} \cdot 1}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Этап 8.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot 1}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Этап 8.3.3.2

Умножим $\frac{5 \sqrt{140609}}{16}$ на $1$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16}}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Этап 8.3.3.3

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{5764969}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16}}{4 \sqrt{5764969}}$

Этап 8.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$

Этап 8.3.5

Умножим $\frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$ на $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} (\frac{1}{4 \sqrt{5764969}} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}})$

Этап 8.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Умножим $\frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$ на $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \sqrt{5764969} \sqrt{5764969}}$

Этап 8.3.6.2

Перенесем $\sqrt{5764969}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 (\sqrt{5764969} \sqrt{5764969})}$

Этап 8.3.6.3

Возведем $\sqrt{5764969}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 ({\sqrt{5764969}}^{1} \sqrt{5764969})}$

Этап 8.3.6.4

Возведем $\sqrt{5764969}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 ({\sqrt{5764969}}^{1} {\sqrt{5764969}}^{1})}$

Этап 8.3.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {\sqrt{5764969}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {\sqrt{5764969}}^{2}}$

Этап 8.3.6.7

Перепишем ${\sqrt{5764969}}^{2}$ в виде $5764969$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5764969}$ в виде $5764969^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {(5764969^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{1}}$

Этап 8.3.6.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969}$

Этап 8.3.7

Умножим $4$ на $5764969$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$

Этап 8.3.8

Умножим $\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{140609}}{16}$ на $\frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609} \sqrt{5764969}}{16 \cdot 23059876}$

Этап 8.3.8.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 \sqrt{5764969 \cdot 140609}}{16 \cdot 23059876}$

Этап 8.3.8.3

Умножим $5764969$ на $140609$ .

$\frac{5 \sqrt{810606526121}}{16 \cdot 23059876}$

Этап 8.3.8.4

Умножим $16$ на $23059876$ .

$\frac{5 \sqrt{810606526121}}{368958016}$

Этап 8.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Перепишем $810606526121$ в виде $140609^{2} \cdot 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1.1

Вынесем множитель $19770890881$ из $810606526121$ .

$\frac{5 \sqrt{19770890881 (41)}}{368958016}$

Этап 8.3.9.1.2

Перепишем $19770890881$ в виде $140609^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609^{2} \cdot 41}}{368958016}$

Этап 8.3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \cdot 140609 \sqrt{41}}{368958016}$

Этап 8.3.9.3

Умножим $5$ на $140609$ .

$\frac{703045 \sqrt{41}}{368958016}$

Этап 8.3.10

Сократим общий множитель $703045$ и $368958016$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Вынесем множитель $140609$ из $703045 \sqrt{41}$ .

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{368958016}$

Этап 8.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.2.1

Вынесем множитель $140609$ из $368958016$ .

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{140609 (2624)}$

Этап 8.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{140609 \cdot 2624}$

Этап 8.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{41}}{2624}$

Этап 9

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Этап 10

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Этап 10.2

Упростим $\frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - 5) - 375$

Этап 10.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Этап 10.2.1.3

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (5 (- 1)) - 375$

Этап 10.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (5 \cdot - 1) - 375$

Этап 10.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 x}{5} + 4 \cdot - 1 - 375$

Этап 10.2.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{5} - 4 - 375$

Этап 10.2.2

Вычтем $375$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{5} - 379$

Этап 11

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Этап 11.2

Упростим $- \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - 5) - 375$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Этап 11.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot - 5 - 375$

Этап 11.2.1.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot (5 (- 1)) - 375$

Этап 11.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot (5 \cdot - 1) - 375$

Этап 11.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - 4 \cdot - 1 - 375$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + 4 - 375$

Этап 11.2.1.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + 4 - 375$

Этап 11.2.2

Вычтем $375$ из $4$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Этап 12

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{4 x}{5} - 379, y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(5, - 375)$

Вершины: $(5, - 375 + \sqrt{140609}), (5, - 375 - \sqrt{140609})$

Фокусы: $(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Эксцентриситет: $(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Фокальный параметр: $\frac{5 \sqrt{41}}{2624}$

Асимптоты: $y = \frac{4 x}{5} - 379$ , $y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Этап 14