Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y + 44 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $44$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $9 x^{2} + 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = 72$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{72}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $72$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 (9)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{36}{9}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $36$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $36$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{72^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $72$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $5184$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $144$ .

$e = 0 - 144$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $144$ из $0$ .

$e = - 144$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x + 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 144$

Этап 1.3

Подставим $9 {(x + 4)}^{2} - 144$ вместо $9 x^{2} + 72 x$ в уравнение $9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 144 - 4 y^{2} - 32 y = - 44$

Этап 1.4

Перенесем $- 144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y^{2} - 32 y = - 44 + 144$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} - 32 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (- 4)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 16}{- 4}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 16$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16$ .

$d = \frac{- 4 (4)}{- 4}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 32$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $1024$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $64$ .

$e = 64$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$ .

$- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$

Этап 1.6

Подставим $- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$ вместо $- 4 y^{2} - 32 y$ в уравнение $9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} + 64 = - 44 + 144$

Этап 1.7

Перенесем $64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = - 44 + 144 - 64$

Этап 1.8

Упростим $- 44 + 144 - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 44$ и $144$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = 100 - 64$

Этап 1.8.2

Вычтем $64$ из $100$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = 36$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 4$

$h = - 4$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 4, - 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Этап 5.3.3

Добавим $4$ и $9$ .

$\sqrt{13}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, - 4)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, - 4)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(- 2, - 4), (- 6, - 4)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4 + \sqrt{13}, - 4)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 4 + \sqrt{13}, - 4), (- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Этап 8.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Этап 8.3.3

Добавим $4$ и $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{9}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{9}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Этап 11.2

Упростим $\frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x + 4) - 4$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (2)) - 4$

Этап 11.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 4$

Этап 11.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot 2 - 4$

Этап 11.2.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 6 - 4$

Этап 11.2.2

Вычтем $4$ из $6$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 2$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x + 4) - 4$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Этап 12.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 4 - 4$

Этап 12.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2)) - 4$

Этап 12.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 4$

Этап 12.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot 2 - 4$

Этап 12.2.1.5

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 6 - 4$

Этап 12.2.1.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - 6 - 4$

Этап 12.2.2

Вычтем $4$ из $- 6$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{3 x}{2} + 2, y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 4, - 4)$

Вершины: $(- 2, - 4), (- 6, - 4)$

Фокусы: $(- 4 + \sqrt{13}, - 4), (- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Фокальный параметр: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{2} + 2$ , $y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Этап 15