Основы мат. анализа Примеры

$36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y + 43 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $43$ из обеих частей уравнения.

$36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $36 x^{2} + 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 36$

$b = 48$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{48}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $48$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 (36)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 36}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{24}{36}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $24$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $24$ .

$d = \frac{12 (2)}{36}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $36$ .

$d = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{3}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{48^{2}}{4 \cdot 36}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $48$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{2304}{4 \cdot 36}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $36$ .

$e = 0 - \frac{2304}{144}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $2304$ на $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$

Этап 1.3

Подставим $36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$ вместо $36 x^{2} + 48 x$ в уравнение $36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16 + 9 y^{2} - 36 y = - 43$

Этап 1.4

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 y^{2} - 36 y = - 43 + 16$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $9 y^{2} - 36 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 18}{9}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 18$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $1296$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(y - 2)}^{2} - 36$

Этап 1.6

Подставим $9 {(y - 2)}^{2} - 36$ вместо $9 y^{2} - 36 y$ в уравнение $36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} - 36 = - 43 + 16$

Этап 1.7

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = - 43 + 16 + 36$

Этап 1.8

Упростим $- 43 + 16 + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 43$ и $16$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = - 27 + 36$

Этап 1.8.2

Добавим $- 27$ и $36$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = 9$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $9$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{36 {(x + \frac{2}{3})}^{2}}{9} + \frac{9 {(y - 2)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + \frac{2}{3})}^{2}}{\frac{1}{4}} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 2$

$h = - \frac{2}{3}$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- \frac{2}{3}, 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 5.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Этап 5.3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 5.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Этап 5.3.7

Вычтем $1$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 5.3.8

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- \frac{2}{3}, 2 + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$(- \frac{2}{3}, 3)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- \frac{2}{3}, 2 - (1))$

Этап 6.6

Упростим.

$(- \frac{2}{3}, 1)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 1)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- \frac{2}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- \frac{2}{3}, 2 - (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(- \frac{2}{3}, 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 8.3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Этап 8.3.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Этап 8.3.8

Вычтем $1$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 8.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 8.3.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 8.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- \frac{2}{3}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2}{3}, 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10