Основы мат. анализа Примеры

$34 = 2 x^{2} + 20 x + 4 y^{2} - 16 y$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$34 - 2 x^{2} = 20 x + 4 y^{2} - 16 y$

Этап 1.1.2

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$34 - 2 x^{2} - 20 x = 4 y^{2} - 16 y$

Этап 1.1.3

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$34 - 2 x^{2} - 20 x - 4 y^{2} = - 16 y$

Этап 1.1.4

Добавим $16 y$ к обеим частям уравнения.

$34 - 2 x^{2} - 20 x - 4 y^{2} + 16 y = 0$

Этап 1.1.5

Перенесем $34$ .

$- 2 x^{2} - 20 x - 4 y^{2} + 16 y + 34 = 0$

Этап 1.1.6

Перенесем $- 20 x$ .

$- 2 x^{2} - 4 y^{2} - 20 x + 16 y + 34 = 0$

Этап 1.2

Вычтем $34$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} - 4 y^{2} - 20 x + 16 y = - 34$

Этап 1.3

Составим полный квадрат для $- 2 x^{2} - 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 2$

$b = - 20$

$c = 0$

Этап 1.3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 20}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 20$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.3.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (- 2)}$

Этап 1.3.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.3.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 10}{- 2}$

Этап 1.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10$ .

$d = \frac{- 2 (5)}{- 2}$

Этап 1.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{1}$

Этап 1.3.3.2.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$d = 5$

Этап 1.3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$e = 0 - \frac{400}{- 8}$

Этап 1.3.4.2.1.3

Разделим $400$ на $- 8$ .

$e = 0 - - 50$

Этап 1.3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 50$ .

$e = 0 + 50$

Этап 1.3.4.2.2

Добавим $0$ и $50$ .

$e = 50$

Этап 1.3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 2 {(x + 5)}^{2} + 50$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} + 50$

Этап 1.4

Подставим $- 2 {(x + 5)}^{2} + 50$ вместо $- 2 x^{2} - 20 x$ в уравнение $- 2 x^{2} - 4 y^{2} - 20 x + 16 y = - 34$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} + 50 - 4 y^{2} + 16 y = - 34$

Этап 1.5

Перенесем $50$ в правую часть уравнения, прибавив $50$ к обеим частям.

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 y^{2} + 16 y = - 34 - 50$

Этап 1.6

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} + 16 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 16$

$c = 0$

Этап 1.6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.6.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (- 4)}$

Этап 1.6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{8}{- 4}$

Этап 1.6.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$d = \frac{4 (2)}{- 4}$

Этап 1.6.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 1.6.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 1.6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{256}{- 16}$

Этап 1.6.4.2.1.3

Разделим $256$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 16$

Этап 1.6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Этап 1.6.4.2.2

Добавим $0$ и $16$ .

$e = 16$

Этап 1.6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$ .

$- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$

Этап 1.7

Подставим $- 4 {(y - 2)}^{2} + 16$ вместо $- 4 y^{2} + 16 y$ в уравнение $- 2 x^{2} - 4 y^{2} - 20 x + 16 y = - 34$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} + 16 = - 34 - 50$

Этап 1.8

Перенесем $16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = - 34 - 50 - 16$

Этап 1.9

Упростим $- 34 - 50 - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Вычтем $50$ из $- 34$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = - 84 - 16$

Этап 1.9.2

Вычтем $16$ из $- 84$ .

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 4 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Этап 1.10

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

$2 {(x + 5)}^{2} + 4 {(y - 2)}^{2} = 100$

Этап 1.11

Разделим каждый член на $100$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{2 {(x + 5)}^{2}}{100} + \frac{4 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Этап 1.12

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{50} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5 \sqrt{2}$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 5$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 5, 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{25 \cdot 2 - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $25$ на $2$ .

$\sqrt{50 - {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{50 - 1 \cdot 25}$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\sqrt{50 - 25}$

Этап 5.3.3.4

Вычтем $25$ из $50$ .

$\sqrt{25}$

Этап 5.3.3.5

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Этап 5.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$5$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 5 + 5 \sqrt{2}, 2)$

Этап 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 5 - (5 \sqrt{2}), 2)$

Этап 6.5

Упростим.

$(- 5 - 5 \sqrt{2}, 2)$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 5 + 5 \sqrt{2}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5 - 5 \sqrt{2}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 5 + 5 \sqrt{2}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5 - 5 \sqrt{2}, 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 5 + 5, 2)$

Этап 7.3

Упростим.

$(0, 2)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 5 - (5), 2)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- 10, 2)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 10, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 10, 2)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(5)}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{1} - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2 - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - 5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{50 - 1 \cdot 25}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{\sqrt{50 - 25}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.7

Вычтем $25$ из $50$ .

$\frac{\sqrt{25}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.8

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{5 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 8.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 8.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- 5, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 5 + 5 \sqrt{2}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5 - 5 \sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 10, 2)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10