Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} + 13 x + 30 = 0$

Этап 1

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} + 13 x = - 30$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} + 13 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 13$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{13}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{13}{2}$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{13^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $13$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{169}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{169}{4}$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $\frac{169}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{169}{4}$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + \frac{13}{2})}^{2} - \frac{169}{4}$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} - \frac{169}{4}$

Этап 3

Подставим ${(x + \frac{13}{2})}^{2} - \frac{169}{4}$ вместо $x^{2} + 13 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 13 x = - 30$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} - \frac{169}{4} + y^{2} = - 30$

Этап 4

Перенесем $- \frac{169}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{169}{4}$ к обеим частям.

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = - 30 + \frac{169}{4}$

Этап 5

Упростим $- 30 + \frac{169}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $- 30$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = - 30 \cdot \frac{4}{4} + \frac{169}{4}$

Этап 5.2

Объединим $- 30$ и $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{- 30 \cdot 4}{4} + \frac{169}{4}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{- 30 \cdot 4 + 169}{4}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 30$ на $4$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{- 120 + 169}{4}$

Этап 5.4.2

Добавим $- 120$ и $169$ .

${(x + \frac{13}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{49}{4}$

Этап 6

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 7

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \frac{7}{2}$

$h = - \frac{13}{2}$

$k = 0$

Этап 8

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(- \frac{13}{2}, 0)$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(- \frac{13}{2}, 0)$

Радиус: $\frac{7}{2}$

Этап 10