Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{2} - 3 {(y - 8)}^{2} = - 128$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

$- 9 x^{2} + 3 {(y - 8)}^{2} = 128$

Этап 1.2

Разделим каждый член на $128$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{9 x^{2}}{128} + \frac{3 {(y - 8)}^{2}}{128} = \frac{128}{128}$

Этап 1.3

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{\frac{128}{3}} - \frac{x^{2}}{\frac{128}{9}} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \frac{8 \sqrt{6}}{3}$

$b = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$

$k = 8$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 8)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{8 \sqrt{6}}{3})}^{2} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(8 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $8 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{\frac{8^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{64 {\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{64 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{1}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $64$ на $6$ .

$\sqrt{\frac{384}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $384$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $384$ .

$\sqrt{\frac{3 (128)}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{128}{3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{{(8 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило умножения к $8 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{1}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2}{3^{2}}}$

Этап 5.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2}{9}}$

Этап 5.3.6.2

Умножим $64$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{128}{9}}$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $\frac{128}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{128}{9}}$

Этап 5.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $\frac{128}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{128}{9}}$

Этап 5.3.8.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3}{9} + \frac{128}{9}}$

Этап 5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3 + 128}{9}}$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Умножим $128$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{384 + 128}{9}}$

Этап 5.3.10.2

Добавим $384$ и $128$ .

$\sqrt{\frac{512}{9}}$

Этап 5.3.11

Перепишем $\sqrt{\frac{512}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{9}}$

Этап 5.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1

Перепишем $512$ в виде $16^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1.1

Вынесем множитель $256$ из $512$ .

$\frac{\sqrt{256 (2)}}{\sqrt{9}}$

Этап 5.3.12.1.2

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$\frac{\sqrt{16^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}}$

Этап 5.3.12.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{9}}$

Этап 5.3.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 5.3.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{16 \sqrt{2}}{3}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 8 + \frac{8 \sqrt{6}}{3})$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 8 - \frac{8 \sqrt{6}}{3})$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(0, 8 + \frac{8 \sqrt{6}}{3}), (0, 8 - \frac{8 \sqrt{6}}{3})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 8 + \frac{16 \sqrt{2}}{3})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 8 - \frac{16 \sqrt{2}}{3})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(0, 8 + \frac{16 \sqrt{2}}{3}), (0, 8 - \frac{16 \sqrt{2}}{3})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{8 \sqrt{6}}{3})}^{2} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}}}{\frac{8 \sqrt{6}}{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{8 \sqrt{6}}{3})}^{2} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(8 \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило умножения к $8 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{\frac{8^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{64 {\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.3.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{64 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6^{1}}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6}{3^{2}} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 6}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.4.2

Умножим $64$ на $6$ .

$\sqrt{\frac{384}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.4.3

Сократим общий множитель $384$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $384$ .

$\sqrt{\frac{3 (128)}{9} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{128}{3} + {(\frac{8 \sqrt{2}}{3})}^{2}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Применим правило умножения к $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{{(8 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.5.2

Применим правило умножения к $8 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.6.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2^{1}}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.6.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2}{3^{2}}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{64 \cdot 2}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.7.2

Умножим $64$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} + \frac{128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.8

Чтобы записать $\frac{128}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Умножим $\frac{128}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.9.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3}{9} + \frac{128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{128 \cdot 3 + 128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Умножим $128$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{384 + 128}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.11.2

Добавим $384$ и $128$ .

$\sqrt{\frac{512}{9}} \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.12

Перепишем $\sqrt{\frac{512}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Перепишем $512$ в виде $16^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1.1

Вынесем множитель $256$ из $512$ .

$\frac{\sqrt{256 (2)}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.13.1.2

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$\frac{\sqrt{16^{2} \cdot 2}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.13.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{16 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.15

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1.1

Вынесем множитель $8$ из $16 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.15.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \sqrt{6}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{3}{8 (\sqrt{6})}$

Этап 8.3.15.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (2 \sqrt{2})}{3} \cdot \frac{3}{8 \sqrt{6}}$

Этап 8.3.15.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.15.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.15.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.15.3

Объединим $\frac{1}{\sqrt{6}}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}} \sqrt{2}$

Этап 8.3.15.4

Объединим $\frac{2}{\sqrt{6}}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

Этап 8.3.16

Объединим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{6}$ под одним знаком корня.

$2 \sqrt{\frac{2}{6}}$

Этап 8.3.17

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}$

Этап 8.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Этап 8.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Этап 8.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 8.3.18

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.19

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.20

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 8.3.21

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.21.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.21.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.21.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.3.21.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.21.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.21.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.21.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.21.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.21.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.21.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.21.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.21.6.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.3.21.6.5

Найдем экспоненту.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3.22

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{3^{2}}}{16 \sqrt{2}}}{3}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{3^{2}}}{16 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 9.3.2

Объединим.

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{3^{2}} \cdot 1}{16 \sqrt{2} \cdot 3}$

Этап 9.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{9} \cdot 1}{16 \sqrt{2} \cdot 3}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ на $1$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{9}}{16 \sqrt{2} \cdot 3}$

Этап 9.3.3.3

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{9}}{48 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{8 \sqrt{2}}{9} \cdot \frac{1}{48 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель $8 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Вынесем множитель $8 \sqrt{2}$ из $48 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{9} \cdot \frac{1}{8 \sqrt{2} (6)}$

Этап 9.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sqrt{2}}{9} \cdot \frac{1}{8 \sqrt{2} \cdot 6}$

Этап 9.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6}$

Этап 9.3.6

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 6}$

Этап 9.3.7

Умножим $9$ на $6$ .

$\frac{1}{54}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot x + 8$

Этап 11

Умножим $\sqrt{3}$ на $x$ .

$y = \sqrt{3} x + 8$

Этап 12

Умножим $- \sqrt{3}$ на $x$ .

$y = - \sqrt{3} x + 8$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \sqrt{3} x + 8, y = - \sqrt{3} x + 8$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 8)$

Вершины: $(0, 8 + \frac{8 \sqrt{6}}{3}), (0, 8 - \frac{8 \sqrt{6}}{3})$

Фокусы: $(0, 8 + \frac{16 \sqrt{2}}{3}), (0, 8 - \frac{16 \sqrt{2}}{3})$

Эксцентриситет: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Фокальный параметр: $\frac{1}{54}$

Асимптоты: $y = \sqrt{3} x + 8$ , $y = - \sqrt{3} x + 8$

Этап 15