Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{4} \cdot \log (c x) + 5 \log (c y) - 4 \log (c x)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{4} \log (c x)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$\log ({(c x)}^{\frac{1}{4}}) + 5 \log (c y) - 4 \log (c x)$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $c x$ .

$\log (c^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + 5 \log (c y) - 4 \log (c x)$

Этап 1.3

Упростим $5 \log (c y)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\log (c^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + \log ({(c y)}^{5}) - 4 \log (c x)$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $c y$ .

$\log (c^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + \log (c^{5} y^{5}) - 4 \log (c x)$

Этап 1.5

Упростим $- 4 \log (c x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log (c^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + \log (c^{5} y^{5}) - \log ({(c x)}^{4})$

Этап 1.6

Применим правило умножения к $c x$ .

$\log (c^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + \log (c^{5} y^{5}) - \log (c^{4} x^{4})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (c^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} (c^{5} y^{5})) - \log (c^{4} x^{4})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{c^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} (c^{5} y^{5})}{c^{4} x^{4}})$

Этап 4

Умножим $c^{\frac{1}{4}}$ на $c^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $c^{5}$ .

$\log (\frac{c^{5} c^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{4}})$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{c^{5 + \frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{4}})$

Этап 4.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\log (\frac{c^{5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{4}})$

Этап 4.4

Объединим $5$ и $\frac{4}{4}$ .

$\log (\frac{c^{\frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{4}})$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log (\frac{c^{\frac{5 \cdot 4 + 1}{4}} x^{\frac{1}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{4}})$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $5$ на $4$ .

$\log (\frac{c^{\frac{20 + 1}{4}} x^{\frac{1}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{4}})$

Этап 4.6.2

Добавим $20$ и $1$ .

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} x^{\frac{1}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{4}})$

Этап 5

Перенесем $x^{\frac{1}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{4} x^{- \frac{1}{4}}})$

Этап 6

Умножим $x^{4}$ на $x^{- \frac{1}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{c^{4} (x^{- \frac{1}{4}} x^{4})})$

Этап 6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{- \frac{1}{4} + 4}})$

Этап 6.3

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{- \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}}})$

Этап 6.4

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}}})$

Этап 6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{\frac{- 1 + 4 \cdot 4}{4}}})$

Этап 6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{\frac{- 1 + 16}{4}}})$

Этап 6.6.2

Добавим $- 1$ и $16$ .

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{c^{4} x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 7

Перенесем $c^{4}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log (\frac{c^{\frac{21}{4}} y^{5} c^{- 4}}{x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 8

Умножим $c^{\frac{21}{4}}$ на $c^{- 4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $c^{- 4}$ .

$\log (\frac{c^{- 4} c^{\frac{21}{4}} y^{5}}{x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{c^{- 4 + \frac{21}{4}} y^{5}}{x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 8.3

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\log (\frac{c^{- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{21}{4}} y^{5}}{x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 8.4

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\log (\frac{c^{\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{21}{4}} y^{5}}{x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log (\frac{c^{\frac{- 4 \cdot 4 + 21}{4}} y^{5}}{x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 8.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\log (\frac{c^{\frac{- 16 + 21}{4}} y^{5}}{x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 8.6.2

Добавим $- 16$ и $21$ .

$\log (\frac{c^{\frac{5}{4}} y^{5}}{x^{\frac{15}{4}}})$

Этап 9

Изменим порядок множителей в $\log (\frac{c^{\frac{5}{4}} y^{5}}{x^{\frac{15}{4}}})$ .

$\log (\frac{y^{5} c^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{15}{4}}})$