Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 2)}^{3}) + \frac{1}{2} \cdot (\log ({(x)}^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{3} \log ({(x + 2)}^{3})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\log ({({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{2} \cdot (\log ({(x)}^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log ({(x)}^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\log ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log ({(x)}^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\log ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\log ({(x)}^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Этап 1.3

Упростим.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\log ({(x)}^{4}) - \log ({(x^{2} - x - 6)}^{2}))$

Этап 1.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{{(x)}^{4}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}})$

Этап 1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 1.5.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{((x - 3) (x + 2))}^{2}})$

Этап 1.5.2

Применим правило умножения к $(x - 3) (x + 2)$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$

Этап 1.6

Упростим $\frac{1}{2} \log (\frac{x^{4}}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log (x + 2) + \log ({(\frac{x^{4}}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим правило умножения к $\frac{x^{4}}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.7.2

Применим правило умножения к ${(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2}$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{4 (\frac{1}{2})}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2 (2) \frac{1}{2}}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.9.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.9.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{1} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.9.2

Упростим.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.9.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Этап 1.9.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Этап 1.9.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) {(x + 2)}^{1}})$

Этап 1.9.4

Упростим.

$\log (x + 2) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 3) (x + 2)})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 2) \frac{x^{2}}{(x - 3) (x + 2)})$

Этап 3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 3) (x + 2)$ .

$\log ((x + 2) \frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 3)})$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\log ((x + 2) \frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 3)})$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{x^{2}}{x - 3})$