Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x) + \ln (x^{2} - 4) - \ln (x - 2)$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x (x^{2} - 4)) - \ln (x - 2)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{2}{3} \ln (8)$ путем переноса $\frac{2}{3}$ под логарифм.

$\ln (8^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Этап 3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\ln ({(2^{3})}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Этап 3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (2^{2}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Этап 3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 2^{2})}{x - 2})$

Этап 3.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель.

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Этап 3.7.2

Разделим $x (x + 2)$ на $1$ .

$\ln (4) + \ln (x (x + 2))$

Этап 3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (4) + \ln (x \cdot x + x \cdot 2)$

Этап 3.9

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + x \cdot 2)$

Этап 3.10

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + 2 x)$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 (x^{2} + 2 x))$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (4 x^{2} + 4 (2 x))$

Этап 6

Умножим $2$ на $4$ .

$\ln (4 x^{2} + 8 x)$