Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3}{2} \cdot \ln ({(16 x)}^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило умножения к $16 x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \ln (16^{10} x^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.2

Возведем $16$ в степень $10$ .

$\frac{3}{2} \cdot \ln (1099511627776 x^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.3

Упростим $\frac{3}{2} \ln (1099511627776 x^{10})$ путем переноса $\frac{3}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(1099511627776 x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $1099511627776 x^{10}$ .

$\ln (1099511627776^{\frac{3}{2}} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.5

Перепишем $1099511627776$ в виде $1048576^{2}$ .

$\ln ({(1048576^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1048576^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель.

$\ln (1048576^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.7.2

Перепишем это выражение.

$\ln (1048576^{3} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.8

Возведем $1048576$ в степень $3$ .

$\ln (1152921504606850000 {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.9

Перемножим экспоненты в ${(x^{10})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{10 (\frac{3}{2})}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{2 (5) \frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (1152921504606850000 x^{2 \cdot 5 \frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (1152921504606850000 x^{5 \cdot 3}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.9.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Этап 1.10

Применим правило умножения к $2 y$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln (2^{30} y^{30})$

Этап 1.11

Возведем $2$ в степень $30$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln (1073741824 y^{30})$

Этап 1.12

Умножим $- \frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Изменим порядок $\ln (1073741824 y^{30})$ и $\frac{2}{5}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - (\frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30}))$

Этап 1.12.2

Упростим $\frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30})$ путем переноса $\frac{2}{5}$ под логарифм.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln ({(1073741824 y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Этап 1.13

Применим правило умножения к $1073741824 y^{30}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (1073741824^{\frac{2}{5}} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Этап 1.14

Перепишем $1073741824$ в виде $64^{5}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln ({(64^{5})}^{\frac{2}{5}} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Этап 1.15

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{5 (\frac{2}{5})} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Этап 1.16

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Сократим общий множитель.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{5 (\frac{2}{5})} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Этап 1.16.2

Перепишем это выражение.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{2} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Этап 1.17

Возведем $64$ в степень $2$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Этап 1.18

Перемножим экспоненты в ${(y^{30})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{30 (\frac{2}{5})})$

Этап 1.18.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.2.1

Вынесем множитель $5$ из $30$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{5 (6) \frac{2}{5}})$

Этап 1.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{5 \cdot 6 \frac{2}{5}})$

Этап 1.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{6 \cdot 2})$

Этап 1.18.3

Умножим $6$ на $2$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{12})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{1152921504606850000 x^{15}}{4096 y^{12}})$

Этап 3

Сократим общий множитель $1152921504606850000$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $16$ из $1152921504606850000 x^{15}$ .

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{4096 y^{12}})$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $16$ из $4096 y^{12}$ .

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{16 (256 y^{12})})$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{16 (256 y^{12})})$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{72057594037928125 x^{15}}{256 y^{12}})$