Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5}{6} \cdot \log_{2} (x) + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (y) - \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{5}{6} \log_{2} (x)$ путем переноса $\frac{5}{6}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{\frac{5}{6}}) + \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (y) - \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$

Этап 1.2

Упростим $\frac{2}{3} \log_{2} (y)$ путем переноса $\frac{2}{3}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{\frac{5}{6}}) + \log_{2} (y^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$

Этап 1.3

Умножим $- \frac{1}{2} \log_{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок $\log_{2} (x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{5}{6}}) + \log_{2} (y^{\frac{2}{3}}) - (\frac{1}{2} \log_{2} (x)) - \log_{2} (x)$

Этап 1.3.2

Упростим $\frac{1}{2} \log_{2} (x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{\frac{5}{6}}) + \log_{2} (y^{\frac{2}{3}}) - \log_{2} (x^{\frac{1}{2}}) - \log_{2} (x)$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x^{\frac{5}{6}} y^{\frac{2}{3}}) - \log_{2} (x^{\frac{1}{2}}) - \log_{2} (x)$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{\frac{5}{6}} y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}) - \log_{2} (x)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{x^{\frac{5}{6}} y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Этап 5

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{5}{6}} y^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{6}} y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим на $1$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{6}} y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}}{x})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{6}} y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}}{x})$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{\frac{x^{\frac{2}{6}} y^{\frac{2}{3}}}{1}}{x})$

Этап 6.4

Разделим $x^{\frac{2}{6}} y^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{\frac{2}{6}} y^{\frac{2}{3}}}{x})$

Этап 7

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\log_{2} (\frac{x^{\frac{2 (1)}{6}} y^{\frac{2}{3}}}{x})$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\log_{2} (\frac{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}} y^{\frac{2}{3}}}{x})$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}} y^{\frac{2}{3}}}{x})$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}}{x})$

Этап 8

Вынесем множитель $x$ из $x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (\frac{x (x^{\frac{- 2}{3}} y^{\frac{2}{3}})}{x})$

Этап 9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{2} (\frac{x (x^{\frac{- 2}{3}} y^{\frac{2}{3}})}{x^{1}})$

Этап 9.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\log_{2} (\frac{x (x^{\frac{- 2}{3}} y^{\frac{2}{3}})}{x \cdot 1})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{x (x^{\frac{- 2}{3}} y^{\frac{2}{3}})}{x \cdot 1})$

Этап 9.4

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{x^{\frac{- 2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}{1})$

Этап 9.5

Разделим $x^{\frac{- 2}{3}} y^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{- 2}{3}} y^{\frac{2}{3}})$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\log_{2} (x^{- \frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})$

Этап 11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{2} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}})$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ и $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (\frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}})$