Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{1}{3}) \log_{4} (2 a) + (\frac{1}{3}) \log_{4} (5 b) - 2 \log_{4} (a) - \log_{4} (b)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $(\frac{1}{3}) \log_{4} (2 a)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\log_{4} ({(2 a)}^{\frac{1}{3}}) + (\frac{1}{3}) \log_{4} (5 b) - 2 \log_{4} (a) - \log_{4} (b)$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $2 a$ .

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}) + (\frac{1}{3}) \log_{4} (5 b) - 2 \log_{4} (a) - \log_{4} (b)$

Этап 1.3

Упростим $(\frac{1}{3}) \log_{4} (5 b)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}) + \log_{4} ({(5 b)}^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{4} (a) - \log_{4} (b)$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $5 b$ .

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}) + \log_{4} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{4} (a) - \log_{4} (b)$

Этап 1.5

Упростим $- 2 \log_{4} (a)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}) + \log_{4} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}) - \log_{4} (a^{2}) - \log_{4} (b)$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}})) - \log_{4} (a^{2}) - \log_{4} (b)$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}})}{a^{2}}) - \log_{4} (b)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{\frac{2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}})}{a^{2}}}{b})$

Этап 5

Вынесем множитель $a^{2}$ из $2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}})$ .

$\log_{4} (\frac{\frac{a^{2} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}))}{a^{2}}}{b})$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим на $1$ .

$\log_{4} (\frac{\frac{a^{2} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}))}{a^{2} \cdot 1}}{b})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{\frac{a^{2} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}))}{a^{2} \cdot 1}}{b})$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{\frac{2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}})}{1}}{b})$

Этап 6.4

Разделим $2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}})$ на $1$ .

$\log_{4} (\frac{2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}})}{b})$

Этап 7

Вынесем множитель $b$ из $2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}})$ .

$\log_{4} (\frac{b (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{- 2}{3}}))}{b})$

Этап 8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\log_{4} (\frac{b (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{- 2}{3}}))}{b^{1}})$

Этап 8.2

Вынесем множитель $b$ из $b^{1}$ .

$\log_{4} (\frac{b (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{- 2}{3}}))}{b \cdot 1})$

Этап 8.3

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{b (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{- 2}{3}}))}{b \cdot 1})$

Этап 8.4

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{- 2}{3}})}{1})$

Этап 8.5

Разделим $2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{- 2}{3}})$ на $1$ .

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} (5^{\frac{1}{3}} b^{\frac{- 2}{3}}))$

Этап 9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} a^{\frac{- 5}{3}} b^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} a^{- \frac{5}{3}} b^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{4} (2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \frac{1}{a^{\frac{5}{3}}} b^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 12

Умножим $2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \frac{1}{a^{\frac{5}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $2^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{1}{a^{\frac{5}{3}}}$ .

$\log_{4} (5^{\frac{1}{3}} \frac{2^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}} b^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 12.2

Объединим $5^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{2^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}}$ .

$\log_{4} (\frac{5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}} b^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\log_{4} (\frac{5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}} b^{- \frac{2}{3}})$

Этап 14

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{4} (\frac{5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}})$

Этап 15

Объединим.

$\log_{4} (\frac{5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{a^{\frac{5}{3}} b^{\frac{2}{3}}})$

Этап 16

Умножим $5^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\log_{4} (\frac{5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} b^{\frac{2}{3}}})$