Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} - 18 x + 2 y^{2} + 10 y + 7 = 0$

Этап 1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 18 x + 2 y^{2} + 10 y = - 7$

Этап 2

Разделим обе части уравнения на $2$ .

$x^{2} - 9 x + y^{2} + 5 y = - \frac{7}{2}$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{9}{2}$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $\frac{81}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Этап 4

Подставим ${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ вместо $x^{2} - 9 x$ в уравнение $x^{2} - 9 x + y^{2} + 5 y = - \frac{7}{2}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} + y^{2} + 5 y = - \frac{7}{2}$

Этап 5

Перенесем $- \frac{81}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{81}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + y^{2} + 5 y = - \frac{7}{2} + \frac{81}{4}$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} + 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $\frac{25}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Этап 7

Подставим ${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ вместо $y^{2} + 5 y$ в уравнение $x^{2} - 9 x + y^{2} + 5 y = - \frac{7}{2}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} = - \frac{7}{2} + \frac{81}{4}$

Этап 8

Перенесем $- \frac{25}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{25}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{7}{2} + \frac{81}{4} + \frac{25}{4}$

Этап 9

Упростим $- \frac{7}{2} + \frac{81}{4} + \frac{25}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 7}{2} + \frac{81 + 25}{4}$

Этап 9.1.2

Добавим $81$ и $25$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 7}{2} + \frac{106}{4}$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{7}{2} + \frac{106}{4}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $106$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $106$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{7}{2} + \frac{2 (53)}{4}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Этап 9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Этап 9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{7}{2} + \frac{53}{2}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 7 + 53}{2}$

Этап 9.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Добавим $- 7$ и $53$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{46}{2}$

Этап 9.3.2.2

Разделим $46$ на $2$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 23$

Этап 10

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 11

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \sqrt{23}$

$h = \frac{9}{2}$

$k = - \frac{5}{2}$

Этап 12

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(\frac{9}{2}, - \frac{5}{2})$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(\frac{9}{2}, - \frac{5}{2})$

Радиус: $\sqrt{23}$

Этап 14