Основы мат. анализа Примеры

$3 \log (x - 1) - 2 \log (4 x + 2) + \frac{1}{3} \cdot \log (x - 1)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $3 \log (x - 1)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log ({(x - 1)}^{3}) - 2 \log (4 x + 2) + \frac{1}{3} \cdot \log (x - 1)$

Этап 1.2

Упростим $- 2 \log (4 x + 2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(x - 1)}^{3}) - \log ({(4 x + 2)}^{2}) + \frac{1}{3} \cdot \log (x - 1)$

Этап 1.3

Упростим $\frac{1}{3} \log (x - 1)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\log ({(x - 1)}^{3}) - \log ({(4 x + 2)}^{2}) + \log ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3}}{{(4 x + 2)}^{2}}) + \log ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3}}{{(4 x + 2)}^{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3}}{{(2 (2 x) + 2)}^{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3}}{{(2 (2 x) + 2 (1))}^{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3}}{{(2 (2 x + 1))}^{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 (2 x + 1)$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3}}{2^{2} {(2 x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3}}{4 {(2 x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5

Умножим $\frac{{(x - 1)}^{3}}{4 {(2 x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{{(x - 1)}^{3}}{4 {(2 x + 1)}^{2}}$ и ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{4 {(2 x + 1)}^{2}})$

Этап 5.2

Умножим ${(x - 1)}^{3}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3 + \frac{1}{3}}}{4 {(2 x + 1)}^{2}})$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4 {(2 x + 1)}^{2}})$

Этап 5.2.3

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{4 {(2 x + 1)}^{2}})$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log (\frac{{(x - 1)}^{\frac{3 \cdot 3 + 1}{3}}}{4 {(2 x + 1)}^{2}})$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{\frac{9 + 1}{3}}}{4 {(2 x + 1)}^{2}})$

Этап 5.2.5.2

Добавим $9$ и $1$ .

$\log (\frac{{(x - 1)}^{\frac{10}{3}}}{4 {(2 x + 1)}^{2}})$