Основы мат. анализа Примеры

$4 \ln (7 x) - 2 \ln (x + 1) - 5 \ln (3) + \frac{2}{3} \cdot \ln (5) - \ln (x + 6) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x - 3) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $4 \ln (7 x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln ({(7 x)}^{4}) - 2 \ln (x + 1) - 5 \ln (3) + \frac{2}{3} \cdot \ln (5) - \ln (x + 6) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x - 3) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $7 x$ .

$\ln (7^{4} x^{4}) - 2 \ln (x + 1) - 5 \ln (3) + \frac{2}{3} \cdot \ln (5) - \ln (x + 6) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x - 3) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1.3

Возведем $7$ в степень $4$ .

$\ln (2401 x^{4}) - 2 \ln (x + 1) - 5 \ln (3) + \frac{2}{3} \cdot \ln (5) - \ln (x + 6) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x - 3) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1.4

Упростим $- 2 \ln (x + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (2401 x^{4}) - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 5 \ln (3) + \frac{2}{3} \cdot \ln (5) - \ln (x + 6) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x - 3) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1.5

Упростим $- 5 \ln (3)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\ln (2401 x^{4}) - \ln ({(x + 1)}^{2}) - \ln (3^{5}) + \frac{2}{3} \cdot \ln (5) - \ln (x + 6) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x - 3) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1.6

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\ln (2401 x^{4}) - \ln ({(x + 1)}^{2}) - \ln (243) + \frac{2}{3} \cdot \ln (5) - \ln (x + 6) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x - 3) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1.7

Упростим $\frac{2}{3} \ln (5)$ путем переноса $\frac{2}{3}$ под логарифм.

$\ln (2401 x^{4}) - \ln ({(x + 1)}^{2}) - \ln (243) + \ln (5^{\frac{2}{3}}) - \ln (x + 6) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x - 3) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1.8

Упростим $\frac{1}{2} \ln (2 x - 3)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln (2401 x^{4}) - \ln ({(x + 1)}^{2}) - \ln (243) + \ln (5^{\frac{2}{3}}) - \ln (x + 6) + \ln ({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{8} \cdot \ln (x^{2} - 3 x + 11)$

Этап 1.9

Упростим $\frac{3}{8} \ln (x^{2} - 3 x + 11)$ путем переноса $\frac{3}{8}$ под логарифм.

$\ln (2401 x^{4}) - \ln ({(x + 1)}^{2}) - \ln (243) + \ln (5^{\frac{2}{3}}) - \ln (x + 6) + \ln ({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}}) - \ln (243) + \ln (5^{\frac{2}{3}}) - \ln (x + 6) + \ln ({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}}}{243}) + \ln (5^{\frac{2}{3}}) - \ln (x + 6) + \ln ({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}}}{243} \cdot 5^{\frac{2}{3}}) - \ln (x + 6) + \ln ({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}}}{243} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{x + 6}) + \ln ({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}}}{243} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 7

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}}}{243} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}}}{243}$ и $5^{\frac{2}{3}}$ .

$\ln (\frac{\frac{\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{243}}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 8.2

Объединим $\frac{2401 x^{4}}{{(x + 1)}^{2}}$ и $5^{\frac{2}{3}}$ .

$\ln (\frac{\frac{\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{{(x + 1)}^{2}}}{243}}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{243}}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 9.2

Объединим.

$\ln (\frac{\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} \cdot 243}}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 9.3

Умножим $2401$ на $1$ .

$\ln (\frac{\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{{(x + 1)}^{2} \cdot 243}}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 9.4

Перенесем $243$ влево от ${(x + 1)}^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{243 {(x + 1)}^{2}}}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{243 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{x + 6} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 11

Умножим $\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{243 {(x + 1)}^{2}}$ на $\frac{1}{x + 6}$ .

$\ln (\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{243 {(x + 1)}^{2} (x + 6)} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 12

Объединим $\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{243 {(x + 1)}^{2} (x + 6)}$ и ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{243 {(x + 1)}^{2} (x + 6)} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}})$

Этап 13

Объединим $\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{243 {(x + 1)}^{2} (x + 6)}$ и ${(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}}$ .

$\ln (\frac{2401 x^{4} \cdot 5^{\frac{2}{3}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 3 x + 11)}^{\frac{3}{8}}}{243 {(x + 1)}^{2} (x + 6)})$