Основы мат. анализа Примеры

$4 \ln (x^{4}) - 5 \ln (y^{3}) - 3 \ln (x^{7}) + \ln (x)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $4 \ln (x^{4})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln ({(x^{4})}^{4}) - 5 \ln (y^{3}) - 3 \ln (x^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{4 \cdot 4}) - 5 \ln (y^{3}) - 3 \ln (x^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\ln (x^{16}) - 5 \ln (y^{3}) - 3 \ln (x^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.3

Упростим $- 5 \ln (y^{3})$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\ln (x^{16}) - \ln ({(y^{3})}^{5}) - 3 \ln (x^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{16}) - \ln (y^{3 \cdot 5}) - 3 \ln (x^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.4.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\ln (x^{16}) - \ln (y^{15}) - 3 \ln (x^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.5

Упростим $- 3 \ln (x^{7})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (x^{16}) - \ln (y^{15}) - \ln ({(x^{7})}^{3}) + \ln (x)$

Этап 1.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{7})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{16}) - \ln (y^{15}) - \ln (x^{7 \cdot 3}) + \ln (x)$

Этап 1.6.2

Умножим $7$ на $3$ .

$\ln (x^{16}) - \ln (y^{15}) - \ln (x^{21}) + \ln (x)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{16}}{y^{15}}) - \ln (x^{21}) + \ln (x)$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{16}}{y^{15}}}{x^{21}}) + \ln (x)$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{16}}{y^{15}}}{x^{21}} x)$

Этап 5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{21}$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{16}}{y^{15}}}{x \cdot x^{20}} x)$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{\frac{x^{16}}{y^{15}}}{x \cdot x^{20}} x)$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{\frac{x^{16}}{y^{15}}}{x^{20}})$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x^{16}}{y^{15}} \cdot \frac{1}{x^{20}})$

Этап 7

Объединим.

$\ln (\frac{x^{16} \cdot 1}{y^{15} x^{20}})$

Этап 8

Сократим общий множитель $x^{16}$ и $x^{20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x^{16}$ из $x^{16} \cdot 1$ .

$\ln (\frac{x^{16} (1)}{y^{15} x^{20}})$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $x^{16}$ из $y^{15} x^{20}$ .

$\ln (\frac{x^{16} (1)}{x^{16} (y^{15} x^{4})})$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x^{16} \cdot 1}{x^{16} (y^{15} x^{4})})$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{1}{y^{15} x^{4}})$