Основы мат. анализа Примеры

$3 (\log (7) - \log (3) - 3 \log (x) + \frac{1}{2} \cdot \log (y))$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (\log (\frac{7}{3}) - 3 \log (x) + \frac{1}{2} \cdot \log (y))$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $- 3 \log (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$3 (\log (\frac{7}{3}) - \log (x^{3}) + \frac{1}{2} \cdot \log (y))$

Этап 2.2

Упростим $\frac{1}{2} \log (y)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$3 (\log (\frac{7}{3}) - \log (x^{3}) + \log (y^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (\log (\frac{\frac{7}{3}}{x^{3}}) + \log (y^{\frac{1}{2}}))$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$3 \log (\frac{\frac{7}{3}}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 \log (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6

Объединим.

$3 \log (\frac{7 \cdot 1}{3 x^{3}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 7

Умножим $7$ на $1$ .

$3 \log (\frac{7}{3 x^{3}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 8

Объединим $\frac{7}{3 x^{3}}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \log (\frac{7 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{3}})$

Этап 9

Упростим $3 \log (\frac{7 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{3}})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log ({(\frac{7 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{3}})}^{3})$

Этап 10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило умножения к $\frac{7 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{3}}$ .

$\log (\frac{{(7 y^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{(3 x^{3})}^{3}})$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $7 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\frac{7^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{(3 x^{3})}^{3}})$

Этап 10.3

Применим правило умножения к $3 x^{3}$ .

$\log (\frac{7^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{3}}{3^{3} {(x^{3})}^{3}})$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\log (\frac{343 {(y^{\frac{1}{2}})}^{3}}{3^{3} {(x^{3})}^{3}})$

Этап 11.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3^{3} {(x^{3})}^{3}})$

Этап 11.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{3}{2}}}{3^{3} {(x^{3})}^{3}})$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{3}{2}}}{27 {(x^{3})}^{3}})$

Этап 12.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{3}{2}}}{27 x^{3 \cdot 3}})$

Этап 12.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\log (\frac{343 y^{\frac{3}{2}}}{27 x^{9}})$