Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{5} (x^{3}) + 3 \log_{5} (x) - 6 \log_{5} (x^{- (2)})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{5} (x^{3})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{5} ({(x^{3})}^{2}) + 3 \log_{5} (x) - 6 \log_{5} (x^{- (2)})$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (x^{3 \cdot 2}) + 3 \log_{5} (x) - 6 \log_{5} (x^{- (2)})$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\log_{5} (x^{6}) + 3 \log_{5} (x) - 6 \log_{5} (x^{- (2)})$

Этап 1.3

Упростим $3 \log_{5} (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{5} (x^{6}) + \log_{5} (x^{3}) - 6 \log_{5} (x^{- (2)})$

Этап 1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\log_{5} (x^{6}) + \log_{5} (x^{3}) - 6 \log_{5} (x^{- 2})$

Этап 1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{5} (x^{6}) + \log_{5} (x^{3}) - 6 \log_{5} (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.6

Упростим $- 6 \log_{5} (\frac{1}{x^{2}})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log_{5} (x^{6}) + \log_{5} (x^{3}) - \log_{5} ({(\frac{1}{x^{2}})}^{6})$

Этап 1.7

Применим правило умножения к $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\log_{5} (x^{6}) + \log_{5} (x^{3}) - \log_{5} (\frac{1^{6}}{{(x^{2})}^{6}})$

Этап 1.8

Единица в любой степени равна единице.

$\log_{5} (x^{6}) + \log_{5} (x^{3}) - \log_{5} (\frac{1}{{(x^{2})}^{6}})$

Этап 1.9

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (x^{6}) + \log_{5} (x^{3}) - \log_{5} (\frac{1}{x^{2 \cdot 6}})$

Этап 1.9.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\log_{5} (x^{6}) + \log_{5} (x^{3}) - \log_{5} (\frac{1}{x^{12}})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x^{6} x^{3}) - \log_{5} (\frac{1}{x^{12}})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x^{6} x^{3}}{\frac{1}{x^{12}}})$

Этап 4

Умножим $x^{6}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{x^{6 + 3}}{\frac{1}{x^{12}}})$

Этап 4.2

Добавим $6$ и $3$ .

$\log_{5} (\frac{x^{9}}{\frac{1}{x^{12}}})$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log_{5} (x^{9} x^{12})$

Этап 6

Умножим $x^{9}$ на $x^{12}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (x^{9 + 12})$

Этап 6.2

Добавим $9$ и $12$ .

$\log_{5} (x^{21})$