Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y \sqrt{2}}})$

Этап 1

Умножим $\frac{x^{2}}{y \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}})$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{x^{2}}{y \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y \sqrt{2} \sqrt{2}}})$

Этап 2.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y (\sqrt{2} \sqrt{2})}})$

Этап 2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}})$

Этап 2.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}})$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y {\sqrt{2}}^{1 + 1}}})$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y {\sqrt{2}}^{2}}})$

Этап 2.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}})$

Этап 2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}})$

Этап 2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y \cdot 2^{\frac{2}{2}}}})$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y \cdot 2^{\frac{2}{2}}}})$

Этап 2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y \cdot 2^{1}}})$

Этап 2.7.5

Найдем экспоненту.

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{y \cdot 2}})$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{2 \cdot y}})$

Этап 4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x^{2} \sqrt{2}}{2 y}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}}}{\sqrt[3]{2 y}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}}}{\sqrt[3]{2 y}})$

Этап 5

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}}}{\sqrt[3]{2 y}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 y}}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}}}{\sqrt[3]{2 y}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 y}}^{2}})$

Этап 6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}}}{\sqrt[3]{2 y}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 y}}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{\sqrt[3]{2 y} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}})$

Этап 6.2

Возведем $\sqrt[3]{2 y}$ в степень $1$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 y}}^{1} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}})$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 y}}^{1 + 2}})$

Этап 6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 y}}^{3}})$

Этап 6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2 y}}^{3}$ в виде $2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 y}$ в виде ${(2 y)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{({(2 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{(2 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{(2 y)}^{\frac{3}{3}}})$

Этап 6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{(2 y)}^{\frac{3}{3}}})$

Этап 6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{{(2 y)}^{1}})$

Этап 6.5.5

Упростим.

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} {\sqrt[3]{2 y}}^{2}}{2 y})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2 y}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(2 y)}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} \sqrt[3]{{(2 y)}^{2}}}{2 y})$

Этап 7.2

Применим правило умножения к $2 y$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} \sqrt[3]{2^{2} y^{2}}}{2 y})$

Этап 7.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2}} \sqrt[3]{4 y^{2}}}{2 y})$

Этап 8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\log_{2} (\frac{\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{2} \cdot 4 y^{2}}}{2 y})$