Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x^{2} - 1) + 2 \log_{3} (2 x - 2) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{3} (2 x - 2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Этап 1.2

Упростим $- 3 \log_{3} (x - 1)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1^{2}) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) + 2 (- 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x - 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $2 (x - 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) \cdot 2^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.5

Умножим $x - 1$ на ${(x - 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем ${(x - 1)}^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x - 1)) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.5.2

Умножим ${(x - 1)}^{2}$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1}) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2 + 1} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 4.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Этап 5.1.2

Разделим $(x + 1) \cdot 4$ на $1$ .

$\log_{3} ((x + 1) \cdot 4)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x \cdot 4 + 1 \cdot 4)$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\log_{3} (4 \cdot x + 1 \cdot 4)$

Этап 5.3.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\log_{3} (4 x + 4)$