Основы мат. анализа Примеры

$\log_{6} (x + 4) + \log_{6} (x + 1) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 4) (x + 1)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(x + 4) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (x (x + 1) + 4 (x + 1)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 (x + 1)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\log_{6} (x^{2} + x + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\log_{6} (x^{2} + x + 4 x + 4) = 1$

Этап 1.3.2

Добавим $x$ и $4 x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 5 x + 4) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{6} (x^{2} + 5 x + 4) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$6^{1} = x^{2} + 5 x + 4$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 5 x + 4 = 6^{1}$ .

$x^{2} + 5 x + 4 = 6$

Этап 3.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 5 x + 4 - 6 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 5$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $25$ и $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $25$ и $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.6.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{33}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{33})}{2}$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{33})}{2}$

Этап 3.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Добавим $25$ и $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.7.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{33}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{33})}{2}$

Этап 3.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (\sqrt{33})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{33})}{2}$

Этап 3.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{6} (x + 4) + \log_{6} (x + 1) = 1$ истинным.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.37228132 \dots$