Основы мат. анализа Примеры

$\log_{z} (x y^{2}) + 2 \log_{z} (\frac{x}{y}) - 3 \log_{z} (y x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{z} (\frac{x}{y})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} ({(\frac{x}{y})}^{2}) - 3 \log_{z} (y x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{y}$ .

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - 3 \log_{z} (y x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.3

Упростим $- 3 \log_{z} (y x^{\frac{2}{3}})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} ({(y x^{\frac{2}{3}})}^{3})$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $y x^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3})$

Этап 1.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} x^{\frac{2}{3} \cdot 3})$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} x^{\frac{2}{3} \cdot 3})$

Этап 1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{z} (x y^{2}) + \log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} x^{2})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{z} (x y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}) - \log_{z} (y^{3} x^{2})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{z} (\frac{x y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{y^{3} x^{2}})$

Этап 4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\log_{z} (\frac{x (y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}})}{y^{3} x^{2}})$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $y^{3} x^{2}$ .

$\log_{z} (\frac{x (y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}})}{x (y^{3} x)})$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{z} (\frac{x (y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}})}{x (y^{3} x)})$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{z} (\frac{y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{y^{3} x})$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3} x$ .

$\log_{z} (\frac{y^{2} (\frac{x^{2}}{y^{2}})}{y^{2} (y x)})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\log_{z} (\frac{y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}}{y^{2} (y x)})$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\log_{z} (\frac{\frac{x^{2}}{y^{2}}}{y x})$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{1}{y x})$

Этап 7

Объединим.

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y^{2} (y x)})$

Этап 8

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $y$ .

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y \cdot y^{2} x})$

Этап 8.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y^{1} y^{2} x})$

Этап 8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y^{1 + 2} x})$

Этап 8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{z} (\frac{x^{2} \cdot 1}{y^{3} x})$

Этап 9

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\log_{z} (\frac{x^{2}}{y^{3} x})$

Этап 10

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\log_{z} (\frac{x \cdot x}{y^{3} x})$

Этап 10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $x$ из $y^{3} x$ .

$\log_{z} (\frac{x \cdot x}{x y^{3}})$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{z} (\frac{x \cdot x}{x y^{3}})$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{z} (\frac{x}{y^{3}})$