Основы мат. анализа Примеры

$\log_{b} (216^{\frac{2}{3}}) + \log_{b} (49^{\frac{1}{2}}) - \log_{b} (49)$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (216^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - \log_{b} (49)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{1}{2}}}{49})$

Этап 3

Перенесем $49^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49 \cdot 49^{- \frac{1}{2}}})$

Этап 4

Умножим $49$ на $49^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $49$ на $49^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $49$ в степень $1$ .

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{1} \cdot 49^{- \frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{1 - \frac{1}{2}}})$

Этап 4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Этап 4.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\log_{b} (\frac{216^{\frac{2}{3}}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $216$ в виде $6^{3}$ .

$\log_{b} (\frac{{(6^{3})}^{\frac{2}{3}}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Этап 5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{6^{3 (\frac{2}{3})}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\log_{b} (\frac{6^{3 (\frac{2}{3})}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\log_{b} (\frac{6^{2}}{49^{\frac{1}{2}}})$

Этап 5.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\log_{b} (\frac{36}{49^{\frac{1}{2}}})$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\log_{b} (\frac{36}{{(7^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{36}{7^{2 (\frac{1}{2})}})$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\log_{b} (\frac{36}{7^{2 (\frac{1}{2})}})$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\log_{b} (\frac{36}{7^{1}})$

Этап 6.4

Найдем экспоненту.

$\log_{b} (\frac{36}{7})$