Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (5^{\frac{3}{4}}) - \log_{5} (5^{2})$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{5^{\frac{3}{4}}}{5^{2}})$

Этап 2

Перенесем $5^{\frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2} \cdot 5^{- \frac{3}{4}}})$

Этап 3

Умножим $5^{2}$ на $5^{- \frac{3}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2 - \frac{3}{4}}})$

Этап 3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}}})$

Этап 3.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}}})$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{2 \cdot 4 - 3}{4}}})$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{8 - 3}{4}}})$

Этап 3.5.2

Вычтем $3$ из $8$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{5}{4}}})$

Этап 4

Перенесем $5^{\frac{5}{4}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{5} (5^{- \frac{5}{4}})$

Этап 5

Развернем $\log_{5} (5^{- \frac{5}{4}})$ , вынося $- \frac{5}{4}$ из логарифма.

$- \frac{5}{4} \log_{5} (5)$

Этап 6

Логарифм $5$ по основанию $5$ равен $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot 1$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$- 1.25$

Форма смешанных чисел:

$- 1 \frac{1}{4}$