Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x + 6) + \log_{3} (x) = 9$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x + 6) x) = 9$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x \cdot x + 6 x) = 9$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 9$

Этап 2

Перепишем $\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 9$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{9} = x^{2} + 6 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 6 x = 3^{9}$ .

$x^{2} + 6 x = 3^{9}$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $9$ .

$x^{2} + 6 x = 19683$

Этап 3.3

Вычтем $19683$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x - 19683 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = - 19683$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19683)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19683$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19683$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 78732}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $36$ и $78732$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78768}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $78768$ в виде $12^{2} \cdot 547$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $78768$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{144 (547)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 547}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 6 \sqrt{547}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19683$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19683$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 78732}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Добавим $36$ и $78732$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78768}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $78768$ в виде $12^{2} \cdot 547$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $78768$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{144 (547)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 547}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 6 \sqrt{547}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 3 + 6 \sqrt{547}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19683$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19683$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 78732}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.3

Добавим $36$ и $78732$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{78768}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $78768$ в виде $12^{2} \cdot 547$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.4.1

Вынесем множитель $144$ из $78768$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{144 (547)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 547}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 12 \sqrt{547}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 6 \sqrt{547}$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 3 - 6 \sqrt{547}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 3 + 6 \sqrt{547}, - 3 - 6 \sqrt{547}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (x + 6) + \log_{3} (x) = 9$ истинным.

$x = - 3 + 6 \sqrt{547}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 3 + 6 \sqrt{547}$

Десятичная форма:

$x = 137.32818676 \dots$