Основы мат. анализа Примеры

$2 \log (\frac{y^{4}}{x}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log (\frac{y^{4}}{x})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(\frac{y^{4}}{x})}^{2}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $\frac{y^{4}}{x}$ .

$\log (\frac{{(y^{4})}^{2}}{x^{2}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{4 \cdot 2}}{x^{2}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Этап 1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Этап 1.4

Упростим $- 3 \log (y)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Этап 1.5

Упростим $\frac{1}{2} \log (x^{4} y^{2})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log ({(x^{4} y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6

Применим правило умножения к $x^{4} y^{2}$ .

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log ({(x^{4})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{4 (\frac{1}{2})} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2 (2) \frac{1}{2}} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.8

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} y^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 1.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} y^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 1.8.2.2

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} y^{1})$

Этап 1.9

Упростим.

$\log (\frac{y^{8}}{x^{2}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} y)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{y^{8}}{x^{2}}}{y^{3}}) + \log (x^{2} y)$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{\frac{y^{8}}{x^{2}}}{y^{3}} (x^{2} y))$

Этап 4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{8}}{x^{2}}}{y \cdot y^{2}} (x^{2} y))$

Этап 4.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\log (\frac{\frac{y^{8}}{x^{2}}}{y \cdot y^{2}} (y x^{2}))$

Этап 4.3

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{\frac{y^{8}}{x^{2}}}{y \cdot y^{2}} (y x^{2}))$

Этап 4.4

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{\frac{y^{8}}{x^{2}}}{y^{2}} x^{2})$

Этап 5

Объединим $\frac{\frac{y^{8}}{x^{2}}}{y^{2}}$ и $x^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{8}}{x^{2}} x^{2}}{y^{2}})$

Этап 6

Объединим $\frac{y^{8}}{x^{2}}$ и $x^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{8} x^{2}}{x^{2}}}{y^{2}})$

Этап 7

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{\frac{y^{8} x^{2}}{x^{2}}}{y^{2}})$

Этап 7.2

Разделим $y^{8}$ на $1$ .

$\log (\frac{y^{8}}{y^{2}})$

Этап 8

Сократим общий множитель $y^{8}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{8}$ .

$\log (\frac{y^{2} y^{6}}{y^{2}})$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим на $1$ .

$\log (\frac{y^{2} y^{6}}{y^{2} \cdot 1})$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{y^{2} y^{6}}{y^{2} \cdot 1})$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{y^{6}}{1})$

Этап 8.2.4

Разделим $y^{6}$ на $1$ .

$\log (y^{6})$