Основы мат. анализа Примеры

$3 \ln (\sqrt{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $3 \ln (\sqrt{x})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({\sqrt{x}}^{3}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Этап 1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{3}$ в виде $\sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (\sqrt{x^{3}}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Этап 1.3

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\ln (\sqrt{x^{2} x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Этап 1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\ln (x \sqrt{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Этап 1.5

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln (x \sqrt{x}) + \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} x \sqrt{x})$

Этап 3.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} x^{1} \sqrt{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (x^{\frac{1}{2} + 1} \sqrt{x})$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sqrt{x})$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (x^{\frac{1 + 2}{2}} \sqrt{x})$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x})$

Этап 4

Умножим $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}})$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (x^{\frac{3 + 1}{2}})$

Этап 4.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\ln (x^{\frac{4}{2}})$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})$

Этап 4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})$

Этап 4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x^{\frac{2}{1}})$

Этап 4.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (x^{2})$