Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{2} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x) + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.3

Упростим $27 \log (2)$ путем переноса $27$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.4

Умножим $\log (2) \cdot - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок $\log (2)$ и $- 27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - 27 \cdot \log (2)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.4.2

Упростим $- 27 \cdot \log (2)$ путем переноса $27$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $2$ в степень $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.5.2

Возведем $2$ в степень $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} (\log (134217728) x) + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.7

Умножим $\frac{1}{3} (\log (134217728) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Изменим порядок $\log (134217728)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \log (134217728) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.7.2

Упростим $\frac{1}{3} \log (134217728)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.8

Упростим $\frac{1}{3} \log (134217728)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перепишем $134217728$ в виде $512^{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.3.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{1}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.4

Найдем экспоненту.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.5

Перепишем $134217728$ в виде $512^{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.7.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.7.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{1}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.9.8

Найдем экспоненту.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Этап 1.10

Упростим $- 2 \log_{2} (x^{3} - x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - \log_{2} ({(x^{3} - x)}^{2})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{3} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1^{2}))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.4

Применим правило умножения к $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.6

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.7

Умножим $x$ на $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.8

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.8.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.8.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.8.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.1.9

Применим правило умножения к $x (x + 1)$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Этап 4

Изменим порядок множителей в $\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$ .

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + x \log (512) - \log (512)$