Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{4} (2 x) + 0.5 \log_{4} (x + 3) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{4} (2 x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{4} ({(2 x)}^{2}) + 0.5 \log_{4} (x + 3) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\log_{4} (2^{2} x^{2}) + 0.5 \log_{4} (x + 3) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Этап 1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log_{4} (4 x^{2}) + 0.5 \log_{4} (x + 3) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Этап 1.4

Упростим $0.5 \log_{4} (x + 3)$ путем переноса $0.5$ под логарифм.

$\log_{4} (4 x^{2}) + \log_{4} ({(x + 3)}^{0.5}) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}) - \log_{4} (x^{2} - 9)$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}}{x^{2} - 9})$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}}{x^{2} - 3^{2}})$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}}{(x + 3) (x - 3)})$

Этап 5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель ${(x + 3)}^{0.5}$ и $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $4 x^{2} {(x + 3)}^{0.5}$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 3) (4 x^{2} {(x + 3)}^{- 0.5})}{(x + 3) (x - 3)})$

Этап 5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{(x + 3) (4 x^{2} {(x + 3)}^{- 0.5})}{(x + 3) (x - 3)})$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} {(x + 3)}^{- 0.5}}{x - 3})$

Этап 5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем ${(x + 3)}^{- 0.5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2}}{(x - 3) {(x + 3)}^{0.5}})$

Этап 5.2.2

Изменим порядок множителей в $\log_{4} (\frac{4 x^{2}}{(x - 3) {(x + 3)}^{0.5}})$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2}}{{(x + 3)}^{0.5} (x - 3)})$