Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{3} (x) - \frac{1}{2} \cdot (\log_{3} (x) + 5 \log_{3} (z))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{3} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{3} (x^{2}) - \frac{1}{2} \cdot (\log_{3} (x) + 5 \log_{3} (z))$

Этап 1.2

Упростим $5 \log_{3} (z)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\log_{3} (x^{2}) - \frac{1}{2} \cdot (\log_{3} (x) + \log_{3} (z^{5}))$

Этап 1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{2}) - \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (x z^{5})$

Этап 1.4

Умножим $- \frac{1}{2} \log_{3} (x z^{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок $\log_{3} (x z^{5})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\log_{3} (x^{2}) - (\frac{1}{2} \log_{3} (x z^{5}))$

Этап 1.4.2

Упростим $\frac{1}{2} \log_{3} (x z^{5})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} ({(x z^{5})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.5

Применим правило умножения к $x z^{5}$ .

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}} {(z^{5})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6

Перемножим экспоненты в ${(z^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}} z^{5 (\frac{1}{2})})$

Этап 1.6.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}} z^{\frac{5}{2}})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} z^{\frac{5}{2}}})$

Этап 3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Этап 4

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (\frac{x^{2 - \frac{1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Этап 4.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Этап 4.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{3} (\frac{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\log_{3} (\frac{x^{\frac{4 - 1}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\log_{3} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{z^{\frac{5}{2}}})$