Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{2} (x) + 4 \log (2) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (2) (3 x - 2)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{2} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + 4 \log (2) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (2) (3 x - 2)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.2

Упростим $4 \log (2)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (2^{4}) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (2) (3 x - 2)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (2) (3 x - 2)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (2) (3 x) + \log (2) \cdot - 2) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.5

Упростим $3 \log (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (2^{3}) x + \log (2) \cdot - 2) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.6

Умножим $\log (2) \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Изменим порядок $\log (2)$ и $- 2$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (2^{3}) x - 2 \cdot \log (2)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.6.2

Упростим $- 2 \cdot \log (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (2^{3}) x - \log (2^{2})) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (8) x - \log (2^{2})) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.7.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \frac{5}{4} \cdot (\log (8) x - \log (4)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \frac{5}{4} (\log (8) x) - \frac{5}{4} (- \log (4)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.9

Умножим $- \frac{5}{4} (\log (8) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Изменим порядок $\log (8)$ и $\frac{5}{4}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - (\frac{5}{4} \log (8)) x - \frac{5}{4} (- \log (4)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.9.2

Упростим $\frac{5}{4} \log (8)$ путем переноса $\frac{5}{4}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x - \frac{5}{4} (- \log (4)) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.10

Умножим $- \frac{5}{4} (- \log (4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + 1 (\frac{5}{4}) \log (4) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.10.2

Умножим $\frac{5}{4}$ на $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \frac{5}{4} \log (4) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.10.3

Упростим $\frac{5}{4} \log (4)$ путем переноса $\frac{5}{4}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y + 1))$

Этап 1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2) (2 y) + \log (2) \cdot 1)$

Этап 1.12

Упростим $2 \log (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2^{2}) y + \log (2) \cdot 1)$

Этап 1.13

Умножим $\log (2)$ на $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (2^{2}) y + \log (2))$

Этап 1.14

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \cdot (\log (4) y + \log (2))$

Этап 1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} (\log (4) y) - \frac{1}{4} \log (2)$

Этап 1.16

Умножим $- \frac{1}{4} (\log (4) y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Изменим порядок $\log (4)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - (\frac{1}{4} \log (4)) y - \frac{1}{4} \log (2)$

Этап 1.16.2

Упростим $\frac{1}{4} \log (4)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \log (4^{\frac{1}{4}}) y - \frac{1}{4} \log (2)$

Этап 1.17

Умножим $- \frac{1}{4} \log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Изменим порядок $\log (2)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \log (4^{\frac{1}{4}}) y - (\frac{1}{4} \log (2))$

Этап 1.17.2

Упростим $\frac{1}{4} \log (2)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \log (4^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - \log (4^{\frac{1}{4}}) y - \log (2^{\frac{1}{4}})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \frac{3}{2} - \log (4^{\frac{1}{4}}) y + \log (\frac{4^{\frac{5}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}})$

Этап 3

Изменим порядок множителей в $\log_{2} (x^{2}) + \log (16) y - \log (8^{\frac{5}{4}}) x + \frac{3}{2} - \log (4^{\frac{1}{4}}) y + \log (\frac{4^{\frac{5}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}})$ .

$\log_{2} (x^{2}) + y \log (16) - x \log (8^{\frac{5}{4}}) + \frac{3}{2} - y \log (4^{\frac{1}{4}}) + \log (\frac{4^{\frac{5}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}})$