Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{7} (3 + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 \log_{7} (3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.2

Объединим $3$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 \log_{7} (\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \log_{7} (\frac{3 \cdot 4 + 1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$2 \log_{7} (\frac{12 + 1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.4.2

Добавим $12$ и $1$ .

$2 \log_{7} (\frac{13}{4}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.5

Упростим $2 \log_{7} (\frac{13}{4})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{7} ({(\frac{13}{4})}^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.6

Применим правило умножения к $\frac{13}{4}$ .

$\log_{7} (\frac{13^{2}}{4^{2}}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.7

Возведем $13$ в степень $2$ .

$\log_{7} (\frac{169}{4^{2}}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\log_{7} (\frac{169}{16}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{7} (x - 5) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.9

Упростим $\frac{1}{4} \log_{7} (x - 5)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$\log_{7} (\frac{169}{16}) + \log_{7} ({(x - 5)}^{\frac{1}{4}}) - \frac{1}{2} \cdot \log_{7} (x)$

Этап 1.10

Умножим $- \frac{1}{2} \log_{7} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Изменим порядок $\log_{7} (x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\log_{7} (\frac{169}{16}) + \log_{7} ({(x - 5)}^{\frac{1}{4}}) - (\frac{1}{2} \log_{7} (x))$

Этап 1.10.2

Упростим $\frac{1}{2} \log_{7} (x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log_{7} (\frac{169}{16}) + \log_{7} ({(x - 5)}^{\frac{1}{4}}) - \log_{7} (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{169}{16} {(x - 5)}^{\frac{1}{4}}) - \log_{7} (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{\frac{169}{16} {(x - 5)}^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4

Объединим $\frac{169}{16}$ и ${(x - 5)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{7} (\frac{\frac{169 {(x - 5)}^{\frac{1}{4}}}{16}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log_{7} (\frac{169 {(x - 5)}^{\frac{1}{4}}}{16} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 6

Объединим.

$\log_{7} (\frac{169 {(x - 5)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1}{16 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 7

Умножим $169$ на $1$ .

$\log_{7} (\frac{169 {(x - 5)}^{\frac{1}{4}}}{16 x^{\frac{1}{2}}})$