Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{7} (x^{4}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{7} (x^{4})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{7} ({(x^{4})}^{2}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{7} (x^{4 \cdot 2}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\log_{7} (x^{8}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.3

Упростим $- 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} ({\sqrt[3]{x^{2}}}^{6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{6}$ в виде $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{2}{3} \cdot 6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $6$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{2 \cdot 6}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4.4

Умножим $2$ на $6$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{12}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4.5

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3 (1)}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{4}{1}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.4.5.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Этап 1.5

Упростим $3 \log_{7} (4 x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} ({(4 x)}^{3}) + \log_{7} (2)$

Этап 1.6

Применим правило умножения к $4 x$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} (4^{3} x^{3}) + \log_{7} (2)$

Этап 1.7

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} (64 x^{3}) + \log_{7} (2)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}}) + \log_{7} (64 x^{3}) + \log_{7} (2)$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}} (64 x^{3})) + \log_{7} (2)$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}} (64 x^{3}) \cdot 2)$

Этап 5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{7} (64 \frac{x^{8}}{x^{4}} x^{3} \cdot 2)$

Этап 6

Сократим общий множитель $x^{8}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{8}$ .

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4}} x^{3} \cdot 2)$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим на $1$ .

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4} \cdot 1} x^{3} \cdot 2)$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4} \cdot 1} x^{3} \cdot 2)$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{7} (64 \frac{x^{4}}{1} x^{3} \cdot 2)$

Этап 6.2.4

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$\log_{7} (64 x^{4} x^{3} \cdot 2)$

Этап 7

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\log_{7} (64 (x^{3} x^{4}) \cdot 2)$

Этап 7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{7} (64 x^{3 + 4} \cdot 2)$

Этап 7.3

Добавим $3$ и $4$ .

$\log_{7} (64 x^{7} \cdot 2)$

Этап 8

Умножим $2$ на $64$ .

$\log_{7} (128 x^{7})$