Основы мат. анализа Примеры

$21 \log_{3} (\sqrt[3]{x}) + \log_{3} (9 x^{2}) - \log_{3} (25)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$21 \log_{3} (\sqrt[3]{x}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $21 \log_{3} (\sqrt[3]{x})$ путем переноса $21$ под логарифм.

$\log_{3} ({\sqrt[3]{x}}^{21}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{21}$ в виде $x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{3} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{21}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (x^{\frac{1}{3} \cdot 21}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $21$ .

$\log_{3} (x^{\frac{21}{3}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 7}{3}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (x^{\frac{7}{1}}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 2.2.4.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$\log_{3} (x^{7}) + \log_{3} (\frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{7} \frac{9 x^{2}}{25})$

Этап 4

Умножим $x^{7} \frac{9 x^{2}}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{7}$ и $\frac{9 x^{2}}{25}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{7} (9 x^{2})}{25})$

Этап 4.2

Умножим $x^{7}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} x^{7} \cdot 9}{25})$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (\frac{x^{2 + 7} \cdot 9}{25})$

Этап 4.2.3

Добавим $2$ и $7$ .

$\log_{3} (\frac{x^{9} \cdot 9}{25})$

Этап 5

Перенесем $9$ влево от $x^{9}$ .

$\log_{3} (\frac{9 x^{9}}{25})$